Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4343. (March 2011)

B. 4343. Let a and b denote positive numbers such that a3+b3=1. Show that a2+ab+b2-a-b>0.

(Suggested by J. Pataki, Budapest)

(4 pont)

Deadline expired on April 11, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltételek miatt \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) 1-nél kisebb pozitív számok. Hozzuk az egyenlőtlenséget \(\displaystyle b^2>(1-a)(a+b)\) alakra. Ez ekvivalens a \(\displaystyle b^3>(1-a)(a+b)b\) egyenlőtlenséggel. Felhasználva, hogy \(\displaystyle b^3=1-a^3\), a pozitív \(\displaystyle 1-a\) mennyiséggel leosztva az eredetivel ekvivalens \(\displaystyle a^2+a+1>(a+b)b\) egyenlőtlenséget kapjuk. Ez pedig nyilván teljesül, hiszen \(\displaystyle a^2+a>a>ab\) és \(\displaystyle 1>b^2\).


Statistics:

84 students sent a solution.
4 points:55 students.
3 points:11 students.
2 points:3 students.
1 point:6 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2011