 |
A B. 4343. feladat (2011. március) |
B. 4343. Legyenek a és b olyan pozitív számok, amelyekre a3+b3=1. Mutassuk meg, hogy a2+ab+b2-a-b>0.
Javasolta: Pataki János (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A feltételek miatt \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) 1-nél kisebb pozitív számok. Hozzuk az egyenlőtlenséget \(\displaystyle b^2>(1-a)(a+b)\) alakra. Ez ekvivalens a \(\displaystyle b^3>(1-a)(a+b)b\) egyenlőtlenséggel. Felhasználva, hogy \(\displaystyle b^3=1-a^3\), a pozitív \(\displaystyle 1-a\) mennyiséggel leosztva az eredetivel ekvivalens \(\displaystyle a^2+a+1>(a+b)b\) egyenlőtlenséget kapjuk. Ez pedig nyilván teljesül, hiszen \(\displaystyle a^2+a>a>ab\) és \(\displaystyle 1>b^2\).
Statisztika:
84 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 55 versenyző. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai