Sign In Sign Up
 Magyar Information Contest Journal Articles

# Problem B. 4344. (March 2011)

B. 4344. The lengths of the parallel sides of a symmetric trapezium are a and c. The midpoints of the legs are E and F. Let G denote the orthogonal projection of point E on the line of the leg BC. What is the area of the trapezium if point C divides the line segment GF in a 1:2 ratio? (C lies closer to point G.)

(4 pont)

Deadline expired on 11 April 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladat szövege alapján világos, hogy az $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$ pontok rendre az $\displaystyle AD$, illetve a $\displaystyle BC$ szár felezőpontjai, továbbá az $\displaystyle AB$ alap hosszabb mint a $\displaystyle CD$ alap. Ezek szerint $\displaystyle a\ne c$. Tegyük fel, hogy $\displaystyle a>c$. A szárak hossza legyen $\displaystyle 4x$, ekkor $\displaystyle FG=3x$. Ha a $\displaystyle C$ csúcsnak az $\displaystyle AB$ alapra eső merőleges vetülete $\displaystyle H$, akkor $\displaystyle EF=\frac{a+c}{2}$ és $\displaystyle BH=\frac{a-c}{2}$. Az $\displaystyle EFG$ és $\displaystyle CBH$ derékszögű háromszögek hasonló volta miatt

$\displaystyle 12x^2=CB\cdot FG=EF\cdot BH=\frac{a+c}{2}\cdot \frac{a-c}{2} =\frac{a^2-c^2}{4}.$

Ezek alapján a trapéz területe

$\displaystyle EF\cdot CH=EF\cdot\sqrt{CB^2-BH^2}= \frac{a+c}{2}\cdot \sqrt{(4x)^2-\left(\frac{a-c}{2}\right)^2}$

$\displaystyle =\frac{a+c}{2}\cdot \sqrt{\frac{a^2-c^2}{3}-\left(\frac{a-c}{2}\right)^2} =\frac{a+c}{2}\cdot \sqrt{\frac{a^2+6ac-7c^2}{12}}$

$\displaystyle =\sqrt{\frac{(a+c)^2(a+7c)(a-c)}{48}}.$

### Statistics:

 87 students sent a solution. 4 points: 62 students. 3 points: 8 students. 2 points: 3 students. 1 point: 7 students. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 2 solutions.

 Our web pages are supported by: Morgan Stanley