KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4348. (March 2011)

B. 4348. The diagonals of a cyclic quadrilateral ABCD are not perpendicular. The feet of the perpendiculars dropped from the vertices A, B, C, D onto the diagonals not passing through them are A', B', C', D', respectively. The intersections of lines AA' and DD', DD' and CC', CC' and BB', and finally, BB' and AA' are E, F, G, H, respectively. Prove that A'B'C'D' is a cyclic quadrilateral with the centre of its circumscribed circle lying at the intersection of the line segments EG and FH.

(Suggested by B. Bíró, (Eger)

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha az átlók metszéspontja \(\displaystyle M\), akkor az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az \(\displaystyle AMB\) szög hegyesszög. Ebben az esetben az \(\displaystyle A',B', C',D'\) pontok rendre az \(\displaystyle MB, MA, MD, MC\) nyílt félegyeneseken helyezkednek el. Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy az említett pontok az \(\displaystyle MB, MA, MD, MC\) belsejébe esnek; a feladat állítása a többi esetben is hasonló meggondolásokkal igazolható.

Mivel \(\displaystyle AA'B\angle=AB'B\angle=90^\circ\), az \(\displaystyle ABA'B'\) négyszög húrnégyszög. Ezért \(\displaystyle A'B'D'\angle=ABA'\angle=ABD\angle\). Hasonlóképp \(\displaystyle BB'C'C\) is húrnégyszög, így \(\displaystyle C'B'D'\angle=C'B'C\angle=C'BC\angle=CBD\angle\). Ezek alapján

\(\displaystyle A'B'C'\angle=A'B'D'\angle+C'B'D'\angle=ABD\angle+CBD\angle=ABC\angle.\)

Ugyanígy kapjuk, hogy \(\displaystyle \{A,B,C,D\}\) halmaz tetszőleges 3-elemű \(\displaystyle \{X,Y,Z\}\) részhalmazára \(\displaystyle X'Y'Z'\angle=XYZ\angle\). Kihasználva, hogy \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög,

\(\displaystyle A'B'C'\angle+A'D'C'\angle=ABC\angle+ADC\angle=180^\circ,\)

ami mutatja, hogy az \(\displaystyle A'B'C'D'\) négyszög is húrnégyszög.

Az \(\displaystyle AA'=EH\) és \(\displaystyle CC'=FG\) egyenesek merőlegesek e négyszög köré írható kör \(\displaystyle A'C'\) húrjára, amiből következik, hogy ugyanolyan távolságra esnek a kör \(\displaystyle O\) középpontjától. Más szóval, az \(\displaystyle EH\) egyenest az \(\displaystyle O\) pontra tükrözve az \(\displaystyle FG\) egyenest kapjuk. Ugyanilyen alapon az \(\displaystyle EF\) egyenes \(\displaystyle O\)-ra vett tükörképe a \(\displaystyle GH\) egyenes lesz. Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle EFGH\) olyan paralelogramma, melynek középpontja, ami egyben az \(\displaystyle EG\) és \(\displaystyle FH\) átlók metszéspontja, egybeesik az \(\displaystyle A'B'C'D'\) húrnégyszög köré írható kör \(\displaystyle O\) középpontjával.


Statistics:

23 students sent a solution.
5 points:Baumgartner Róbert, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Énekes Péter, Földvári Gábor, Frittmann Júlia, Köpenczei Gergő, Máthé László, Nagy Róbert, Schultz Vera Magdolna, Simig Dániel, Szabó 777 Bence, Tekeli Tamás, Weisz Gellért, Zsakó András.
3 points:5 students.
2 points:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley