KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4353. Let A be a positive integer, and let B denote the number obtained by writing the digits of A in reverse order. Show that at least one of the numbers A+B and A-B is divisible by 11.

(Suggested by J. Mészáros, Jóka)

(3 points)

Deadline expired on 10 May 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyenek \(\displaystyle A\) számjegyei \(\displaystyle a_n, a_{n-1},\ldots, a_0\); ekkor \(\displaystyle A=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+\ldots+a_0\) és \(\displaystyle B=10^na_0+\ldots+10a_{n-1}+a_n\). Ha \(\displaystyle n\) páratlan, akkor az

\(\displaystyle A+B=\sum_{i=0}^n(10^i+10^{n-i})a_i\)

összeg minden tagja osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, hiszen \(\displaystyle i<n/2\) esetén

\(\displaystyle 10^i+10^{n-i}=10^{i}(10^{n-2i}+1),\)

ahol \(\displaystyle n-2i\) páratlan lévén \(\displaystyle 10+1\mid 10^{n-2i}+1\), \(\displaystyle i>n/2\) esetén pedig

\(\displaystyle 10^i+10^{n-i}=10^{n-i}(10^{2i-n}+1),\)

ahol \(\displaystyle 10+1\mid 10^{2i-n}+1\), hiszen \(\displaystyle 2i-n\) páratlan. Ezért ilyenkor \(\displaystyle A+B\) osztható 11-gyel.

Hasonlóképpen, ha \(\displaystyle n\) páros, akkor \(\displaystyle n-2i\) és \(\displaystyle 2i-n\) is páros, így az

\(\displaystyle A-B=\sum_{i=0}^n(10^i-10^{n-i})a_i\)

szám 11-gyel való osztatósága leolvasható a

\(\displaystyle 10^i-10^{n-i}=-10^{i}(10^{n-2i}-1)\qquad (i< n/2),\)

illetve a

\(\displaystyle 10^i-10^{n-i}=10^{n-i}(10^{2i-n}-1)\qquad (i\ge n/2)\)

átalakításokról.


Statistics on problem B. 4353.
118 students sent a solution.
3 points:87 students.
2 points:16 students.
1 point:7 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley