KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4355. Prove that if the product of the positive numbers x, y and z is 1, then


\frac{z^3 + y^3}{x^2+xy+y^2} +
\frac{x^3 + z^3}{y^2+yz+z^2} +
\frac{y^3 + x^3}{z^2+zx+x^2} \ge 2.

(Based on the idea of J. Szoldatics, Dunakeszi)

(4 points)

Deadline expired on 10 May 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel tetszőleges \(\displaystyle a,b\) valós számokra \(\displaystyle 0\le 2(a-b)^2\) miatt \(\displaystyle a^2+ab+b^2\le 3(a^2-ab+b^2)\), elegendő az

\(\displaystyle S=\frac{1}{3} \left( \frac{z^3 + y^3}{x^2-xy+y^2} + \frac{x^3 + z^3}{y^2-yz+z^2} + \frac{y^3 + x^3}{z^2-zx+x^2}\right)\ge 2\)

egyenlőtlenséget igazolni. Az \(\displaystyle a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) azonosságot felhasználva, a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint

\(\displaystyle S\ge \root{3}\of{\frac{z^3 + y^3}{x^2-xy+y^2} \cdot \frac{x^3 + z^3}{y^2-yz+z^2} \cdot \frac{y^3 + x^3}{z^2-zx+x^2}} =\root{3}\of{(z+y)(x+z)(y+x)}.\)

Ezért elegendő az \(\displaystyle (z+y)(x+z)(y+x)\ge 8\) egyenlőtlenséget igazolni, ami az \(\displaystyle xyz=1\) feltétel miatt ekvivalens az

\(\displaystyle x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2\ge 6\)

egyenlőtlenséggel. Ez azonban nyilván teljesül, hiszen ismét a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenségre hivatkozva

\(\displaystyle \frac{x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2}{6}\ge \root{6}\of{x^6y^6z^6}= xyz=1.\)

A megoldásból az is látszik, hogy egyenlőség pontosan az \(\displaystyle x=y=z=1\) esetben áll fenn.


Statistics on problem B. 4355.
26 students sent a solution.
4 points:Csörgő András, Czipó Bence, Frittmann Júlia, Hajnal Máté, Lenger Dániel, Máthé László, Nagy Róbert, Sagmeister Ádám, Tossenberger Tamás, Varga Zoltán Attila, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Zahemszky Péter, Zelena Réka, Zilahi Tamás.
3 points:Dinev Georgi.
2 points:4 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley