Problem B. 4359. (April 2011)

B. 4359. A regular tetrahedron is intersected with a plane perpendicular to one of its faces in line e. The lines of intersection of this plane with the other three faces enclose angles of ₁, ₂, ₃ with e. Determine the possible values of he expression .

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle \alpha\) a szabályos tetraéder tetszőleges két lapja által bezárt szöget. Ha az \(\displaystyle XYZV\) szabályos tetraéder \(\displaystyle XY\) élének felezőpontja \(\displaystyle F\), \(\displaystyle V\) csúcsának az \(\displaystyle XYZ\) lapra eső vetülete pedig \(\displaystyle S\), akkor \(\displaystyle S\) az \(\displaystyle XYZ\) háromszög súlypontja, tehát \(\displaystyle \cos\alpha=FS/FV=1/3\), ahonnan \(\displaystyle \sin\alpha=\sqrt{8}/3\), \(\displaystyle {\tg}\alpha=\sqrt{8}\) következik.

Tekintsünk egy \(\displaystyle ABCD\) tetrédert, ahol az \(\displaystyle ABC\) sík a tetraédernek azon lapsíkja, amelyre a \(\displaystyle BCD\) metsző sík merőleges, \(\displaystyle ACD\) pedig a tetraéder egy másik lapsíkja, továbbá az \(\displaystyle AD\) egyenes merőleges az \(\displaystyle AC\) élegyenesre, a \(\displaystyle B\) pont pedig a \(\displaystyle D\) pontnak az \(\displaystyle BC\) síkra eső vetülete. Ekkor a \(\displaystyle CAB, CAD, ABD, CBD\) szögek derékszögek. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle AB\) szakasz egységnyi hosszú. Mivel a \(\displaystyle DAB\) szög nagysága \(\displaystyle \alpha\), kapjuk, hogy \(\displaystyle BD={\tg}\alpha=\sqrt{8}\). Ha az \(\displaystyle ACB\) szög, vagyis a metsző síknak az \(\displaystyle AC\) élegyenessel bezárt szöge \(\displaystyle \xi\), akkor \(\displaystyle CB=1/\sin\xi\). A \(\displaystyle BCD\) síknak az \(\displaystyle ACD\) lapsíkkal való \(\displaystyle CD\) metszésvonala az \(\displaystyle e=CB\) egyenessel \(\displaystyle \phi=DCB\) szöget zár be, melyre \(\displaystyle \tg\phi=BD/CB=\sqrt{8}\sin\xi\). Ez az összefüggés nyilván akkor is fennáll ha a tetraéder elfajuló, vagyis ha \(\displaystyle C=A\), hiszen ekkor \(\displaystyle \xi=\pi\) és \(\displaystyle \phi=\alpha\).

Megállapíthatjuk tehát, hogy ha az \(\displaystyle e\) egyenes a tetraéder alaplapjának élegyeneseivel \(\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3\) szöget zár be, akkor

\(\displaystyle {\tg}^2\phi_1 +{\tg}^2\phi_2 +{\tg}^2\phi_3= 8(\sin^2\xi_1+\sin^2\xi_2+\sin^2\xi_3).\)

Mivel a szóban forgó élegyenesek egymással páronként \(\displaystyle \pi/3\) szöget zárnak be, továbbá a \(\displaystyle \sin^2\) függvény \(\displaystyle \pi\) szerint periodikus páros függvény,

\(\displaystyle \sin^2\xi_1+\sin^2\xi_2+\sin^2\xi_3= \sin^2\xi_1+\sin^2(\xi_1+\pi/3)+\sin^2(\xi_1-\pi/3)=\)

\(\displaystyle =\sin^2\xi_1+\left(\frac{1}{2}\sin\xi_1+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\xi_1\right)^2 +\left(\frac{1}{2}\sin\xi_1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\xi_1\right)^2=\)

\(\displaystyle =\frac{3}{2}\sin^2\xi_1+\frac{3}{2}\cos^2\xi_1=\frac{3}{2}.\)

Ezért a \(\displaystyle {\tg}^2\phi_1 +{\tg}^2\phi_2 +{\tg}^2\phi_3\) kifejezés értéke, a metsző sík helyzetétől függetlenül, mindig 12 lesz.

Statistics:

9 students sent a solution.
5 points:	Baráti László, Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Máthé László, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Viharos Andor.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2011