KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4361. (April 2011)

B. 4361. Let a and b denote the semi-axes of an ellipse. Let O denote the centre, and let P_1,
P_2, \ldots,P_n be points on the curve such that each of the angles PiOPi+1 is \frac\pi n. Prove that if n>1 then \frac{2}{OP_1^2}+\frac{2}{OP_2^2}+ \dots
+\frac{2}{OP_n^2}= \frac{n}{a^2}+\frac{n}{b^2}.

(5 pont)

Deadline expired on 10 May 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vegyünk fel egy olyan derékszögű koordinátarendszert, amelyben az ellipszis egyenlete \(\displaystyle (x/a)^2+(y/b)^2=1\); ekkor az \(\displaystyle O\) pont éppen az origó. Ha az ellipszis egy \(\displaystyle P\) pontjára \(\displaystyle OP=r\) és az \(\displaystyle OP\) szakasz az \(\displaystyle x\) tengellyel \(\displaystyle \alpha\) irányított szöget zár be, akkor a \(\displaystyle P\) pont koordinátái \(\displaystyle r\cos\alpha\) és \(\displaystyle r\sin\alpha\), vagyis

\(\displaystyle \left(\frac{r\cos\alpha}{a}\right)^2+\left(\frac{r\sin\alpha}{b}\right)^2=1, \quad \frac{1}{OP^2}=\frac{1}{r^2}=\frac{\cos^2\alpha}{a^2}+ \frac{\sin^2\alpha}{b^2}.\)

A \(\displaystyle P_i\) pontnak \(\displaystyle O\)-ra vonatkozó tükörképét jelölje \(\displaystyle P_{n+i}\), ekkor \(\displaystyle OP_i=OP_{n+i}\). Az \(\displaystyle OP_i\) szakasznak az \(\displaystyle x\) tengellyel bezárt irányított szögét jelölje \(\displaystyle \alpha_i\), ahol \(\displaystyle 1\le i\le 2n\). Ekkor minden \(\displaystyle 1\le i<2n\) esetén fennáll az, hogy a \(\displaystyle P_iOP_{i+1}\) szög nagysága \(\displaystyle \pi/n\), sőt \(\displaystyle P_{2n}OP_{1}=\pi/n\) is igaz. Mármost

\(\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{2}{OP_i^2}=\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{OP_i^2}= \frac{1}{a^2}\sum_{i=1}^{2n}\cos^2\alpha_i+ \frac{1}{b^2}\sum_{i=1}^{2n}\sin^2\alpha_i.\)

Minthogy

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}\cos^2\alpha_i=\sum_{i=1}^{2n}\cos^2(\alpha_1+(i-1)\pi/n)\)

és \(\displaystyle \sin x=\cos(\pi/2 -x)\) miatt

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}\sin^2\alpha_i= \sum_{i=1}^{2n}\cos^2(\pi/2-\alpha_1+(i-1)\pi/n),\)

elegendő azt megmutatni, hogy bármely \(\displaystyle \alpha\) szög esetén

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}\cos^2(\alpha+(i-1)\pi/n)=n.\)

A \(\displaystyle \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\) összefüggés szerint ez egyenértékű a

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}\cos(2\alpha+2(i-1)\pi/n)=0\)

egyenlőséggel. A bal oldalon egy \(\displaystyle O\) középpontú egység sugarú körbe írt szabályos \(\displaystyle n\)-szög csúcsainak \(\displaystyle x\)-koordinátái szerepelnek összeadandóként, méghozzá mindegyik pontosan kétszer. Hogy ezek összege 0, az rögtön adódik abból a tényből, hogy az \(\displaystyle O\) középpontból a sokszög csúcsaiba mutató vektorok összege nulla, amit legegyszerűbben úgy igazolhatunk, ha észrevesszük, hogy az összeg nem változik meg, ha a sokszöget \(\displaystyle O\) körül \(\displaystyle 2\pi/n\) szöggel elforgatjuk.


Statistics:

13 students sent a solution.
5 points:Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Fonyó Viktória, Frittmann Júlia, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Weisz Gellért.
4 points:Baráti László, Gyarmati Máté, Lajos Mátyás, Perjési Gábor, Simig Dániel.
1 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley