KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4363. (May 2011)

B. 4363. The reciprocals of the natural numbers 2 to 2011 are written on a blackboard. In each step, two numbers x and y are erased and replaced with the number \frac{xy}{xy + (1-x)(1-y)}. This step is repeated 2009 times, until a single number remains. What may the remaining number be?

(Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti)

(4 pont)

Deadline expired on 10 June 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha

\(\displaystyle z=\frac{xy}{xy + (1-x)(1-y)},\)

akkor

\(\displaystyle \left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)= \frac{(1-x)(1-y)}{xy}=\frac{1}{z}-1.\)

Ez azt jelenti, hogy ha a táblán lévő számok halmazát \(\displaystyle A\) jelöli, akkor a

\(\displaystyle \prod_{x\in A}\left(\frac{1}{x}-1\right)\)

szorzat értéke az eljárás során nem változik. Kezdetben ez az érték \(\displaystyle 2010!\), vagyis ha az eljárás végén az \(\displaystyle x\) szám marad a táblán, akkor

\(\displaystyle \frac{1}{x}-1=2010!,\qquad x=\frac{1}{2010!+1}.\)


Statistics:

54 students sent a solution.
4 points:Bősze Zsuzsanna, Bunth Gergely, Czipó Bence, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Hajnal Máté, Herczeg József, Klincsik Gergely, Máthé László, Mihálykó András, Perjési Gábor, Schultz Vera Magdolna, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Weimann Richárd, Zelena Réka, Zilahi Tamás, Zsakó András.
3 points:Boér Lehel, Csősz Gábor, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Simig Dániel, Weisz Gellért, Zahemszky Péter.
2 points:24 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley