KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4364. Let a\geb\gec>0. Prove that \frac{a^{2}-b^{2}}{c} +\frac{c^{2}-b^{2}}{a}
+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}\ge 3a-4b+c.

(Suggested by J. Mészáros, Jóka)

(4 points)

Deadline expired on 10 June 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel

\(\displaystyle \frac{a+b}{c}\ge \frac{2c}{c}=2,\quad \frac{b+c}{a}\le \frac{2a}{a}=2\quad {\rm és}\quad \frac{a+c}{b}>\frac{a}{b}\ge 1,\)

a bal oldalon álló kifejezés átalakításával kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{a^{2}-b^{2}}{c}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}= \frac{(a-b)(a+b)}{c}-\frac{(b-c)(b+c)}{a}+\frac{(a-c)(a+c)}{b}\ge \)

\(\displaystyle \ge 2(a-b)-2(b-c)+(a-c)=3a-4b+c.\)

A megoldásból az is leolvasható, hogy egyenlőség csak az \(\displaystyle a-c=0\) esetben léphet fel, vagyis amikor mind a három szám egyenlő.


Statistics on problem B. 4364.
29 students sent a solution.
4 points:Bogár Blanka, Csősz Gábor, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Emri Tamás, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Mátrahegyi Roland, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy Róbert, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Zelena Réka, Zilahi Tamás.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley