Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4364. (May 2011)

B. 4364. Let a\geb\gec>0. Prove that \frac{a^{2}-b^{2}}{c} +\frac{c^{2}-b^{2}}{a}
+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}\ge 3a-4b+c.

(Suggested by J. Mészáros, Jóka)

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel

\(\displaystyle \frac{a+b}{c}\ge \frac{2c}{c}=2,\quad \frac{b+c}{a}\le \frac{2a}{a}=2\quad {\rm és}\quad \frac{a+c}{b}>\frac{a}{b}\ge 1,\)

a bal oldalon álló kifejezés átalakításával kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{a^{2}-b^{2}}{c}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}= \frac{(a-b)(a+b)}{c}-\frac{(b-c)(b+c)}{a}+\frac{(a-c)(a+c)}{b}\ge \)

\(\displaystyle \ge 2(a-b)-2(b-c)+(a-c)=3a-4b+c.\)

A megoldásból az is leolvasható, hogy egyenlőség csak az \(\displaystyle a-c=0\) esetben léphet fel, vagyis amikor mind a három szám egyenlő.


Statistics:

29 students sent a solution.
4 points:Bogár Blanka, Csősz Gábor, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Emri Tamás, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Mátrahegyi Roland, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy Róbert, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Zelena Réka, Zilahi Tamás.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011