KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4364. (May 2011)

B. 4364. Let a\geb\gec>0. Prove that \frac{a^{2}-b^{2}}{c} +\frac{c^{2}-b^{2}}{a}
+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}\ge 3a-4b+c.

(Suggested by J. Mészáros, Jóka)

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel

\(\displaystyle \frac{a+b}{c}\ge \frac{2c}{c}=2,\quad \frac{b+c}{a}\le \frac{2a}{a}=2\quad {\rm és}\quad \frac{a+c}{b}>\frac{a}{b}\ge 1,\)

a bal oldalon álló kifejezés átalakításával kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{a^{2}-b^{2}}{c}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}= \frac{(a-b)(a+b)}{c}-\frac{(b-c)(b+c)}{a}+\frac{(a-c)(a+c)}{b}\ge \)

\(\displaystyle \ge 2(a-b)-2(b-c)+(a-c)=3a-4b+c.\)

A megoldásból az is leolvasható, hogy egyenlőség csak az \(\displaystyle a-c=0\) esetben léphet fel, vagyis amikor mind a három szám egyenlő.


Statistics:

29 students sent a solution.
4 points:Bogár Blanka, Csősz Gábor, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Emri Tamás, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Mátrahegyi Roland, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy Róbert, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Zelena Réka, Zilahi Tamás.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley