B. 4365. Find all positive integers n such that 2ⁿ-1 and 2ⁿ⁺²-1 are both primes, and 2ⁿ⁺¹-1 is not divisible by 7.

(Suggested by S. Kiss, Budapest)

(3 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Ha k=1, akkor 2^k-1=1 nem prím. Ha k=ab, ahol a,b 1-nél nagyobb egész számok, akkor 2^a-1>1 valódi osztója a 2^k-1 számnak. Ezért ha 2ⁿ-1 és 2ⁿ⁺²-1 is prím, akkor n és n+2 is prím kell legyen. Mármost ha n>3, akkor n páratlan, tehát n+1 páros. Továbbásem n, sem n+2 nem osztható 3-mal, tehát n+1 osztható 3-mal, így 6-tal is. Ekkor viszont miatt 2ⁿ⁺¹-1 osztható 7-tel. Mivel n=2 esetén n+2 nem prím, az egyetlen lehetőség n=3, ami meg is felel a feltételeknek.

Statistics on problem B. 4365. 78 students sent a solution. 3 points: 56 students. 2 points: 15 students. 1 point: 5 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solution.