Problem B. 4365. (May 2011)
B. 4365. Find all positive integers n such that 2n-1 and 2n+2-1 are both primes, and 2n+1-1 is not divisible by 7.
(Suggested by S. Kiss, Budapest)
(3 pont)
Deadline expired on June 10, 2011.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha \(\displaystyle k=1\), akkor \(\displaystyle 2^k-1=1\) nem prím. Ha \(\displaystyle k=ab\), ahol \(\displaystyle a,b\) 1-nél nagyobb egész számok, akkor \(\displaystyle 2^a-1>1\) valódi osztója a \(\displaystyle 2^k-1\) számnak. Ezért ha \(\displaystyle 2^n-1\) és \(\displaystyle 2^{n+2}-1\) is prím, akkor \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n+2\) is prím kell legyen. Mármost ha \(\displaystyle n>3\), akkor \(\displaystyle n\) páratlan, tehát \(\displaystyle n+1\) páros. Továbbásem \(\displaystyle n\), sem \(\displaystyle n+2\) nem osztható 3-mal, tehát \(\displaystyle n+1\) osztható 3-mal, így 6-tal is. Ekkor viszont \(\displaystyle 2^6-1\mid 2^{n+1}-1\) miatt \(\displaystyle 2^{n+1}-1\) osztható \(\displaystyle 7\)-tel. Mivel \(\displaystyle n=2\) esetén \(\displaystyle n+2\) nem prím, az egyetlen lehetőség \(\displaystyle n=3\), ami meg is felel a feltételeknek.
Statistics:
78 students sent a solution. 3 points: 56 students. 2 points: 15 students. 1 point: 5 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011