Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4367. (May 2011)

B. 4367. Solve the following equation: \frac{3x+3}{\sqrt{x}} =4+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}.

(Suggested by J. Mészáros, Jóka)

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenletben szereplő kifejezések pontosan akkor értelmezhetőek, ha \(\displaystyle x\) pozitív. Ekkor \(\displaystyle (\sqrt{x}-1)^2\ge 0\) miatt \(\displaystyle x+1\ge 2\sqrt{x}\), vagyis

\(\displaystyle \frac{3x+3}{\sqrt{x}}\ge 6,\)

ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle \sqrt{x}=1\). Hasonlóképpen \(\displaystyle 3(x^2+1)\ge 6x\), vagyis \(\displaystyle 4(x^2-x+1)\ge (x+1)^2\), ahonnan

\(\displaystyle 4+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}\le 6\)

következik. Mivel egyenlőség itt is az \(\displaystyle x=1\) esetben áll fenn, az egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle x=1\).


Statistics:

64 students sent a solution.
4 points:51 students.
3 points:1 student.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011