KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Competitions Portal

B. 4367. Solve the following equation: \frac{3x+3}{\sqrt{x}} =4+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}.

(Suggested by J. Mészáros, Jóka)

(4 points)

Deadline expired on 10 June 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az egyenletben szereplő kifejezések pontosan akkor értelmezhetőek, ha &tex;\displaystyle x&xet; pozitív. Ekkor &tex;\displaystyle (\sqrt{x}-1)^2\ge 0&xet; miatt &tex;\displaystyle x+1\ge 2\sqrt{x}&xet;, vagyis

&tex;\displaystyle \frac{3x+3}{\sqrt{x}}\ge 6,&xet;

ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha &tex;\displaystyle \sqrt{x}=1&xet;. Hasonlóképpen &tex;\displaystyle 3(x^2+1)\ge 6x&xet;, vagyis &tex;\displaystyle 4(x^2-x+1)\ge (x+1)^2&xet;, ahonnan

&tex;\displaystyle 4+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}\le 6&xet;

következik. Mivel egyenlőség itt is az &tex;\displaystyle x=1&xet; esetben áll fenn, az egyenlet egyetlen megoldása &tex;\displaystyle x=1&xet;.


Statistics on problem B. 4367.
64 students sent a solution.
4 points:51 students.
3 points:1 student.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:9 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011

  • Our web pages are supported by:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma  
    OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   Nemzeti TehetsĂ©g Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley