KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4367. Solve the following equation: \frac{3x+3}{\sqrt{x}} =4+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}.

(Suggested by J. Mészáros, Jóka)

(4 points)

Deadline expired on 10 June 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az egyenletben szereplő kifejezések pontosan akkor értelmezhetőek, ha \(\displaystyle x\) pozitív. Ekkor \(\displaystyle (\sqrt{x}-1)^2\ge 0\) miatt \(\displaystyle x+1\ge 2\sqrt{x}\), vagyis

\(\displaystyle \frac{3x+3}{\sqrt{x}}\ge 6,\)

ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle \sqrt{x}=1\). Hasonlóképpen \(\displaystyle 3(x^2+1)\ge 6x\), vagyis \(\displaystyle 4(x^2-x+1)\ge (x+1)^2\), ahonnan

\(\displaystyle 4+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}\le 6\)

következik. Mivel egyenlőség itt is az \(\displaystyle x=1\) esetben áll fenn, az egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle x=1\).


Statistics on problem B. 4367.
64 students sent a solution.
4 points:51 students.
3 points:1 student.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:9 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley