KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4368. Let D, E and F, respectively, be points on sides AB, BC, CA of a triangle ABC such that AD:DB=BE:EC=CF:FA\ne1. The lines AE, BF, CD intersect one another at points G, H, I, respectively. Prove that the centroids of triangles ABC and GHI coincide.

(Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom)

(3 points)

Deadline expired on 10 June 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az \(\displaystyle A,B,C\) pontok helyvektorait jelölje rendre \(\displaystyle {\bf a}, {\bf b}, {\bf c}\). Ha \(\displaystyle AD:DB=x:(1-x)\), akkor a \(\displaystyle D,E,F\) pontok helyvektorai \(\displaystyle (1-x){\bf a}+x{\bf b}\), \(\displaystyle (1-x){\bf b}+x{\bf c}\), \(\displaystyle (1-x){\bf c}+x{\bf a}\) lesznek. Az \(\displaystyle AE\) és \(\displaystyle BF\) egyenesek metszéspontjának helyvektora egyértelműen felírható \(\displaystyle \alpha{\bf a}+\beta{\bf b}+ \gamma{\bf c}\) alakban, ahol \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=1\). Itt az \(\displaystyle \alpha, \beta, \gamma\) együtthatók csak az \(\displaystyle x\) értékétől függenek. Ezeket akár ki is számolhatnánk, de ez teljesen felesleges, hiszen szimmetria okok miatt a másik két metszéspont helyvektora \(\displaystyle \beta{\bf a}+\gamma{\bf b}+\alpha{\bf c}\), illetve \(\displaystyle \gamma{\bf a}+\alpha{\bf b}+\beta{\bf c}\) lesz. Ennek alapján a \(\displaystyle GHI\) háromszög súlypontjának helyvektora

\(\displaystyle \frac{(\alpha{\bf a}+\beta{\bf b}+\gamma{\bf c})+ (\beta{\bf a}+\gamma{\bf b}+\alpha{\bf c})+ (\gamma{\bf a}+\alpha{\bf b}+\beta{\bf c})}{3} =\frac{{\bf a}+{\bf b}+{\bf c}}{3}\)

valóban megegyezik az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontjának helyvektorával.


Statistics on problem B. 4368.
21 students sent a solution.
3 points:Ágoston Péter, Bősze Zsuzsanna, Bunth Gergely, Dinev Georgi, Győrfi 946 Mónika, Homonnay Bálint, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Sagmeister Ádám, Strenner Péter, Tekeli Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Weisz Gellért, Zahemszky Péter, Zsakó András.
2 points:Maga Balázs.
1 point:2 students.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley