Problem B. 4368. (May 2011)

B. 4368. Let D, E and F, respectively, be points on sides AB, BC, CA of a triangle ABC such that AD:DB=BE:EC=CF:FA $\ne$ 1. The lines AE, BF, CD intersect one another at points G, H, I, respectively. Prove that the centroids of triangles ABC and GHI coincide.

(Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom)

(3 pont)

Deadline expired on June 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az $\displaystyle A,B,C$ pontok helyvektorait jelölje rendre $\displaystyle {\bf a}, {\bf b}, {\bf c}$. Ha $\displaystyle AD:DB=x:(1-x)$, akkor a $\displaystyle D,E,F$ pontok helyvektorai $\displaystyle (1-x){\bf a}+x{\bf b}$, $\displaystyle (1-x){\bf b}+x{\bf c}$, $\displaystyle (1-x){\bf c}+x{\bf a}$ lesznek. Az $\displaystyle AE$ és $\displaystyle BF$ egyenesek metszéspontjának helyvektora egyértelműen felírható $\displaystyle \alpha{\bf a}+\beta{\bf b}+ \gamma{\bf c}$ alakban, ahol $\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=1$. Itt az $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ együtthatók csak az $\displaystyle x$ értékétől függenek. Ezeket akár ki is számolhatnánk, de ez teljesen felesleges, hiszen szimmetria okok miatt a másik két metszéspont helyvektora $\displaystyle \beta{\bf a}+\gamma{\bf b}+\alpha{\bf c}$, illetve $\displaystyle \gamma{\bf a}+\alpha{\bf b}+\beta{\bf c}$ lesz. Ennek alapján a $\displaystyle GHI$ háromszög súlypontjának helyvektora

$\displaystyle \frac{(\alpha{\bf a}+\beta{\bf b}+\gamma{\bf c})+ (\beta{\bf a}+\gamma{\bf b}+\alpha{\bf c})+ (\gamma{\bf a}+\alpha{\bf b}+\beta{\bf c})}{3} =\frac{{\bf a}+{\bf b}+{\bf c}}{3}$

valóban megegyezik az $\displaystyle ABC$ háromszög súlypontjának helyvektorával.

Statistics:

21 students sent a solution.

3 points: Ágoston Péter, Bősze Zsuzsanna, Bunth Gergely, Dinev Georgi, Győrfi 946 Mónika, Homonnay Bálint, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Sagmeister Ádám, Strenner Péter, Tekeli Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Weisz Gellért, Zahemszky Péter, Zsakó András.

2 points: Maga Balázs.

1 point: 2 students.

0 point: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011

21 students sent a solution.
3 points:	Ágoston Péter, Bősze Zsuzsanna, Bunth Gergely, Dinev Georgi, Győrfi 946 Mónika, Homonnay Bálint, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Sagmeister Ádám, Strenner Péter, Tekeli Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Weisz Gellért, Zahemszky Péter, Zsakó András.
2 points:	Maga Balázs.
1 point:	2 students.
0 point:	3 students.

Already signed up?
New to KöMaL?