KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4369. (May 2011)

B. 4369. Each of the circles k1, k2 and k3 passes through a point P, and the circles ki and kj also pass through the point Mi,j. Let A be an arbitrary point of circle k1. Let k4 be an arbitrary circle passing through A and M1,2, and let k5 be an arbitrary circle passing through A and M1,3. Show that if the other intersections of the pairs of circles k4 and k2, k5 and k3, k4 and k5 are B, C and D, respectively, then the points M2,3, B, C, D are either concyclic or collinear.

(4 pont)

Deadline expired on 10 June 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Hallgatólagosan feltételezzük, hogy a szóban forgó körök és pontok különbözők (ha pl. az \(\displaystyle A\) pont egybeesne az \(\displaystyle M_{1,2}\) ponttal, akkor a \(\displaystyle k_4\) körnek érintenie kellene a \(\displaystyle k_1\) kört).

A jelölések alkalmas megváltoztatásával a feladatot a következő áttekinthetőbb formában is megfogalmazhatjuk:

Legyen \(\displaystyle l_1, l_2,l_3,l_4\) négy kör a síkon úgy hogy az \(\displaystyle l_5=l_1\) jelöléssel élve minden \(\displaystyle 1\le i\le 4\) esetén az \(\displaystyle l_i\) és \(\displaystyle l_{i+1}\) körök egymást az \(\displaystyle X_i,Y_i\) pontokban metszik. Ha az \(\displaystyle X_i\) pontok egy körön helyezkednek el, akkor az \(\displaystyle Y_i\) pontok is egy körön vagy egy egyenesen vannak.

A bizonyításhoz a novemberi B. 4308. feladat megoldásához hasonlóan érdemes lesz irányított szögekkel dolgozni, és felhasználni azt a tényt, hogy az egymástól különböző \(\displaystyle P,Q,R,S\) pontok akkor és csak akkor illeszkednek egy körre vagy egy egyenesre, ha modulo \(\displaystyle 180^\circ\) számolva \(\displaystyle PRQ\sphericalangle+QSP\sphericalangle=0\). Ennek megfelelően a továbbiakban az egyenlőséget mindig modulo \(\displaystyle 180^\circ\) értjük majd.

Mivel az \(\displaystyle Y_3Y_2Y_1, Y_1Y_2X_2\) és \(\displaystyle X_2Y_2Y_3\) szögek egymást teljes szöggé egészítik ki,

\(\displaystyle Y_3Y_2Y_1\sphericalangle=-Y_1Y_2X_2\sphericalangle-X_2Y_2Y_3\sphericalangle.\)

Felhasználva, hogy az \(\displaystyle X_1,X_2,Y_1,Y_2\) pontok az \(\displaystyle l_2\) körre, az \(\displaystyle X_2,X_3,Y_2,Y_3\) pontok pedig az \(\displaystyle l_3\) körre illeszkednek, kapjuk, hogy

\(\displaystyle Y_3Y_2Y_1\sphericalangle=-Y_1Y_2X_2\sphericalangle-X_2Y_2Y_3\sphericalangle=X_2X_1Y_1\sphericalangle+Y_3X_3X_2\sphericalangle.\)

A ciklikus szimmetria alapján hasonlóképpen

\(\displaystyle Y_1Y_4Y_3\sphericalangle=X_4X_3Y_3\sphericalangle+Y_1X_1X_4\sphericalangle.\)

A két egyenlőséget összeadva, a tagok átcsoportosítása után

\(\displaystyle Y_3Y_2Y_1\sphericalangle+Y_1Y_4Y_3\sphericalangle=(X_2X_1Y_1\sphericalangle+Y_1X_1X_4\sphericalangle)+ (X_4X_3Y_3\sphericalangle+Y_3X_3X_2\sphericalangle)=\)

\(\displaystyle =X_2X_1X_4\sphericalangle+X_4X_3X_2\sphericalangle=0,\)

hiszen feltettük, hogy az \(\displaystyle X_i\) pontok egy körre esnek. Ez pedig azt jelenti, hogy az \(\displaystyle Y_i\) pontok valóban egy körre vagy egy egyenesre esnek.


Statistics:

12 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Bogár Blanka, Lajos Mátyás, Lenger Dániel, Máthé László, Medek Ákos, Simig Dániel, Weisz Gellért.
3 points:Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Hajnal Máté, Nagy Róbert.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley