Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4371. (May 2011)

B. 4371. Prove that


\frac{1}{\sin^2{\frac{\pi}{14}}} +
\frac{1}{\sin^2{\frac{3\pi}{14}}} +
\frac{1}{\sin^2{\frac{5\pi}{14}}} = 24.

(Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti)

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Felhasználva a \(\displaystyle 2\sin^2x=1-\cos 2x\) azonosságot, felszorzás után a bizonyítandó egyenlőséget

\(\displaystyle 2\left(1-\cos\frac{\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{3\pi}{7}\right)+ 2\left(1-\cos\frac{\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{5\pi}{7}\right)+\)

\(\displaystyle +2\left(1-\cos\frac{3\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{5\pi}{7}\right)= 24\left(1-\cos\frac{\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{3\pi}{7}\right) \left(1-\cos\frac{5\pi}{7}\right)\)

alakra hozhatjuk. A \(\displaystyle 2\cos\alpha \cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+ \cos(\alpha-\beta)\) azonosság és a \(\displaystyle \cos x=\cos(-x)= -\cos(\pi+x)=-\cos(\pi-x)\) összefüggés alapján a bal oldalon álló kifejezés

\(\displaystyle 6-4\cos\frac{\pi}{7}-4\cos\frac{3\pi}{7}-4\cos\frac{5\pi}{7} +\left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right) +\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)+\)

\(\displaystyle +\left(\cos\frac{8\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right)= 6-6\cos\frac{\pi}{7}+6\cos\frac{2\pi}{7}-6\cos\frac{3\pi}{7},\)

míg a jobb oldalon álló

\(\displaystyle 24-24\cos\frac{\pi}{7}-24\cos\frac{3\pi}{7}-24\cos\frac{5\pi}{7} +12\left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right) +12\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)+\)

\(\displaystyle +12\left(\cos\frac{8\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right)- 12\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)\cos\frac{3\pi}{7} =24-48\cos\frac{\pi}{7}+\)

\(\displaystyle +48\cos\frac{2\pi}{7}-48\cos\frac{3\pi}{7} -6\left\{\left(\cos\frac{9\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}\right) +\left(\cos\frac{7\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}\right)\right\}=\)

\(\displaystyle =30-56\cos\frac{\pi}{7}+56\cos\frac{2\pi}{7}-56\cos\frac{3\pi}{7}\)

alakba írható át. átrendezés és 12-vel való leosztás után tehát a bizonyítandó egyenlőség az

\(\displaystyle 1-2\cos\frac{\pi}{7}+2\cos\frac{2\pi}{7}-2\cos\frac{3\pi}{7}=0\)

alakot ölti. Ezt azonban a fenti átalakításokhoz hasonlóan

\(\displaystyle 1+\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{8\pi}{7}\right)+ \left(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{12\pi}{7}\right)+ \left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{10\pi}{7}\right)=0\)

formában is felírhatjuk, ami viszont speciális esete annak az azonosságnak, amelyet az áprilisi szám B. 4361. feladatának megoldása végén igazoltunk.


Statistics:

20 students sent a solution.
5 points:Baráti László, Boér Lehel, Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Fonyó Viktória, Frittmann Júlia, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Lenger Dániel, Máthé László, Nagy 111 Miklós, Perjési Gábor, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Zilahi Tamás.
1 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011