KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4371. Prove that


\frac{1}{\sin^2{\frac{\pi}{14}}} +
\frac{1}{\sin^2{\frac{3\pi}{14}}} +
\frac{1}{\sin^2{\frac{5\pi}{14}}} = 24.

(Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti)

(5 points)

Deadline expired on 10 June 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Felhasználva a \(\displaystyle 2\sin^2x=1-\cos 2x\) azonosságot, felszorzás után a bizonyítandó egyenlőséget

\(\displaystyle 2\left(1-\cos\frac{\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{3\pi}{7}\right)+ 2\left(1-\cos\frac{\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{5\pi}{7}\right)+\)

\(\displaystyle +2\left(1-\cos\frac{3\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{5\pi}{7}\right)= 24\left(1-\cos\frac{\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{3\pi}{7}\right) \left(1-\cos\frac{5\pi}{7}\right)\)

alakra hozhatjuk. A \(\displaystyle 2\cos\alpha \cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+ \cos(\alpha-\beta)\) azonosság és a \(\displaystyle \cos x=\cos(-x)= -\cos(\pi+x)=-\cos(\pi-x)\) összefüggés alapján a bal oldalon álló kifejezés

\(\displaystyle 6-4\cos\frac{\pi}{7}-4\cos\frac{3\pi}{7}-4\cos\frac{5\pi}{7} +\left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right) +\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)+\)

\(\displaystyle +\left(\cos\frac{8\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right)= 6-6\cos\frac{\pi}{7}+6\cos\frac{2\pi}{7}-6\cos\frac{3\pi}{7},\)

míg a jobb oldalon álló

\(\displaystyle 24-24\cos\frac{\pi}{7}-24\cos\frac{3\pi}{7}-24\cos\frac{5\pi}{7} +12\left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right) +12\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)+\)

\(\displaystyle +12\left(\cos\frac{8\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right)- 12\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)\cos\frac{3\pi}{7} =24-48\cos\frac{\pi}{7}+\)

\(\displaystyle +48\cos\frac{2\pi}{7}-48\cos\frac{3\pi}{7} -6\left\{\left(\cos\frac{9\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}\right) +\left(\cos\frac{7\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}\right)\right\}=\)

\(\displaystyle =30-56\cos\frac{\pi}{7}+56\cos\frac{2\pi}{7}-56\cos\frac{3\pi}{7}\)

alakba írható át. átrendezés és 12-vel való leosztás után tehát a bizonyítandó egyenlőség az

\(\displaystyle 1-2\cos\frac{\pi}{7}+2\cos\frac{2\pi}{7}-2\cos\frac{3\pi}{7}=0\)

alakot ölti. Ezt azonban a fenti átalakításokhoz hasonlóan

\(\displaystyle 1+\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{8\pi}{7}\right)+ \left(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{12\pi}{7}\right)+ \left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{10\pi}{7}\right)=0\)

formában is felírhatjuk, ami viszont speciális esete annak az azonosságnak, amelyet az áprilisi szám B. 4361. feladatának megoldása végén igazoltunk.


Statistics on problem B. 4371.
20 students sent a solution.
5 points:Baráti László, Boér Lehel, Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Fonyó Viktória, Frittmann Júlia, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Lenger Dániel, Máthé László, Nagy 111 Miklós, Perjési Gábor, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Zilahi Tamás.
1 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley