KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4371. (May 2011)

B. 4371. Prove that


\frac{1}{\sin^2{\frac{\pi}{14}}} +
\frac{1}{\sin^2{\frac{3\pi}{14}}} +
\frac{1}{\sin^2{\frac{5\pi}{14}}} = 24.

(Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti)

(5 pont)

Deadline expired on 10 June 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Felhasználva a \(\displaystyle 2\sin^2x=1-\cos 2x\) azonosságot, felszorzás után a bizonyítandó egyenlőséget

\(\displaystyle 2\left(1-\cos\frac{\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{3\pi}{7}\right)+ 2\left(1-\cos\frac{\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{5\pi}{7}\right)+\)

\(\displaystyle +2\left(1-\cos\frac{3\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{5\pi}{7}\right)= 24\left(1-\cos\frac{\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{3\pi}{7}\right) \left(1-\cos\frac{5\pi}{7}\right)\)

alakra hozhatjuk. A \(\displaystyle 2\cos\alpha \cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+ \cos(\alpha-\beta)\) azonosság és a \(\displaystyle \cos x=\cos(-x)= -\cos(\pi+x)=-\cos(\pi-x)\) összefüggés alapján a bal oldalon álló kifejezés

\(\displaystyle 6-4\cos\frac{\pi}{7}-4\cos\frac{3\pi}{7}-4\cos\frac{5\pi}{7} +\left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right) +\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)+\)

\(\displaystyle +\left(\cos\frac{8\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right)= 6-6\cos\frac{\pi}{7}+6\cos\frac{2\pi}{7}-6\cos\frac{3\pi}{7},\)

míg a jobb oldalon álló

\(\displaystyle 24-24\cos\frac{\pi}{7}-24\cos\frac{3\pi}{7}-24\cos\frac{5\pi}{7} +12\left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right) +12\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)+\)

\(\displaystyle +12\left(\cos\frac{8\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right)- 12\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)\cos\frac{3\pi}{7} =24-48\cos\frac{\pi}{7}+\)

\(\displaystyle +48\cos\frac{2\pi}{7}-48\cos\frac{3\pi}{7} -6\left\{\left(\cos\frac{9\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}\right) +\left(\cos\frac{7\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}\right)\right\}=\)

\(\displaystyle =30-56\cos\frac{\pi}{7}+56\cos\frac{2\pi}{7}-56\cos\frac{3\pi}{7}\)

alakba írható át. átrendezés és 12-vel való leosztás után tehát a bizonyítandó egyenlőség az

\(\displaystyle 1-2\cos\frac{\pi}{7}+2\cos\frac{2\pi}{7}-2\cos\frac{3\pi}{7}=0\)

alakot ölti. Ezt azonban a fenti átalakításokhoz hasonlóan

\(\displaystyle 1+\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{8\pi}{7}\right)+ \left(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{12\pi}{7}\right)+ \left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{10\pi}{7}\right)=0\)

formában is felírhatjuk, ami viszont speciális esete annak az azonosságnak, amelyet az áprilisi szám B. 4361. feladatának megoldása végén igazoltunk.


Statistics:

20 students sent a solution.
5 points:Baráti László, Boér Lehel, Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Fonyó Viktória, Frittmann Júlia, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Lenger Dániel, Máthé László, Nagy 111 Miklós, Perjési Gábor, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Zilahi Tamás.
1 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley