KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4372. (September 2011)

B. 4372. Show that if there are three collinear points among any four selected from a set of n points then at least n-1 points are collinear.

(3 pont)

Deadline expired on 10 October 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az állítást \(\displaystyle n\) szerinti indukcióval igazoljuk. Ha \(\displaystyle n\le 4\), akkor az állítás nyilvánvaló. Az indukciós lépéshez tegyük fel, hogy \(\displaystyle n\ge 5\), és \(\displaystyle n-1\) esetén az állítást már beláttuk. Hagyjuk el a ponthalmaz egyik pontját. A fennmaradó \(\displaystyle n-1\) elemű ponthalmazra a feltételek teljesülnek, tehát az indukciós feltevés alapján található benne egy \(\displaystyle n-2\) elemű \(\displaystyle P\) részhalmaz, melynek pontjai egy egyenesre esnek. Hagyjuk el most az eredeti ponthalmazból \(\displaystyle P\)-nek egy pontját. Az így kapott \(\displaystyle n-1\) elemű ponthalmazban is található egy \(\displaystyle n-2\) elemű \(\displaystyle Q\) részhalmaz, melynek pontjai egy egyenesre esnek. Mivel \(\displaystyle P\ne Q\), a \(\displaystyle P\cup Q\) halmaz legalább \(\displaystyle n-1\) elemű. Elég tehát megmutatni, hogy \(\displaystyle P\cup Q\) elemei egy egyenesre esnek.

Tegyük fel, hogy nem ez a helyzet, ekkor \(\displaystyle P\)-nek és \(\displaystyle Q\)-nak legfeljebb egy közös \(\displaystyle a\) eleme lehet. Ez kell is, hogy létezzen, hiszen \(\displaystyle |P\cap Q|\ge n-4\ge 1\). Mivel \(\displaystyle |P\setminus \{a\}|=|Q\setminus \{a\}|=n-3\ge 2\), létezik négy pont, \(\displaystyle b,c\in P\setminus \{a\}\) és \(\displaystyle d,e\in Q\setminus \{a\}\), melyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre. Ez azonban ellentmond a feltételeknek.


Statistics:

204 students sent a solution.
3 points:152 students.
2 points:28 students.
1 point:15 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley