KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4372. Show that if there are three collinear points among any four selected from a set of n points then at least n-1 points are collinear.

(3 points)

Deadline expired on 10 October 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az állítást \(\displaystyle n\) szerinti indukcióval igazoljuk. Ha \(\displaystyle n\le 4\), akkor az állítás nyilvánvaló. Az indukciós lépéshez tegyük fel, hogy \(\displaystyle n\ge 5\), és \(\displaystyle n-1\) esetén az állítást már beláttuk. Hagyjuk el a ponthalmaz egyik pontját. A fennmaradó \(\displaystyle n-1\) elemű ponthalmazra a feltételek teljesülnek, tehát az indukciós feltevés alapján található benne egy \(\displaystyle n-2\) elemű \(\displaystyle P\) részhalmaz, melynek pontjai egy egyenesre esnek. Hagyjuk el most az eredeti ponthalmazból \(\displaystyle P\)-nek egy pontját. Az így kapott \(\displaystyle n-1\) elemű ponthalmazban is található egy \(\displaystyle n-2\) elemű \(\displaystyle Q\) részhalmaz, melynek pontjai egy egyenesre esnek. Mivel \(\displaystyle P\ne Q\), a \(\displaystyle P\cup Q\) halmaz legalább \(\displaystyle n-1\) elemű. Elég tehát megmutatni, hogy \(\displaystyle P\cup Q\) elemei egy egyenesre esnek.

Tegyük fel, hogy nem ez a helyzet, ekkor \(\displaystyle P\)-nek és \(\displaystyle Q\)-nak legfeljebb egy közös \(\displaystyle a\) eleme lehet. Ez kell is, hogy létezzen, hiszen \(\displaystyle |P\cap Q|\ge n-4\ge 1\). Mivel \(\displaystyle |P\setminus \{a\}|=|Q\setminus \{a\}|=n-3\ge 2\), létezik négy pont, \(\displaystyle b,c\in P\setminus \{a\}\) és \(\displaystyle d,e\in Q\setminus \{a\}\), melyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre. Ez azonban ellentmond a feltételeknek.


Statistics on problem B. 4372.
204 students sent a solution.
3 points:152 students.
2 points:28 students.
1 point:15 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley