KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4374. Pacworm the cheese mite is sitting in the middle of a cheese cube of 5 cm edges. He eats a tunnel through the cheese. He always proceeds 1 cm parallel to an edge of the cube and then changes direction. While turning, he makes sure that he makes a 90-degree turn and that facing in the new direction he has more than 1 cm of cheese in front. He always chooses a new direction among the possibilities with equal probability. What is the probability that after travelling 5 cm he ends up in a position where there is exactly one edge at a distance of at most 0.8 cm?

(4 points)

Deadline expired on 10 October 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Vegyünk fel egy olyan koordinátarendszert, melynek tengelyei párhuzamosak a kocka alakú sajt éleivel, középpontja egybeesik a kocka középpontjával, az egység pedig mindhárom tengely irányában 1 cm. A sajtkukac minden egész cm megtétele után egy olyan pontba kerül, melynek mindhárom koordinátája 2-nél nem nagyobb abszolút értékű egész szám. Mivel az éleken elhelyezkedő pontok koordinátái közül legalább kettőnek az abszolút értéke 2,5, egy kockabeli rácspont csak akkor lehet valamelyik éltől legfeljebb 0,8 cm távolságra, ha legalább két koordinátájának abszolút értéke 2; ekkor pedig valamelyik éltől pontosan \(\displaystyle \sqrt{2}/2<0,8\) cm távolságra lesz. Mivel páratlan sok cm megtétele után a koordináták abszolút értékeinek összege páratlan, a sajtkukac pontosan akkor lesz 5 cm megtétele után valamelyik éltől legfeljebb 0,8 cm távolságra, ha akkor helyzetének koordinátai közül kettőnek az abszolút értéke 2, egynek pedig 1. Ehhez pedig szükséges és elegendő, hogy minden egyes új cm megtétele után valamelyik koordináta abszolút értéke 1-gyel nagyobb legyen. Ahhoz tehát, hogy valamelyik lehetséges célpontot elérje, ha a sajtkukac valamelyik irányba egyszer már elmozdult, később soha nem fordulhat azzal ellentétes irányba.

Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy a sajtkukac első ``lépés'' után az \(\displaystyle (1;0;0)\), a második után pedig az \(\displaystyle (1;1;0)\) pontba kerül. Innen 4 irányba fordulhat, 1/4 valószínűséggel rossz irányba fordulva a \(\displaystyle (0;1;0)\) pontba lép, ahonnan már egyik célpontot sem érheti el további két lépéssel. Tehát 3/4 a valószínűsége annak, hogy a harmadik lépéssel valamelyik célponthoz közelebb kerül; ebből 1/4 valószínűséggel a \(\displaystyle (2;1;0)\) pontban, 1/2 valószínűséggel pedig az \(\displaystyle (1;1;1)\) vagy az \(\displaystyle (1;1;-1)\) pontban lesz. Szimmetria okok miatt tehát feltehetjük, hogy a harmadik lépés után a sajtkukac 1/4 valószínűséggel a \(\displaystyle (2;1;0)\) pontba, 1/2 valószínűséggel pedig az \(\displaystyle (1;1;1)\) pontba érkezik.

Ha a \(\displaystyle (2;1;0)\) pontba érkezett, akkor elfordulás után vagy a második, vagy a harmadik koordinátája fog megváltozni. A 4 megengedett irány közül azonban az egyik megint csak rossz irány, vagyis szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy ha a harmadik lépés után a \(\displaystyle (2;1;0)\) pontba érkezett, akkor a negyedik lépés megtételével onnan 1/4 valószínűséggel a \(\displaystyle (2;2;0)\), 1/2 valószínűséggel pedig a \(\displaystyle (2;1;1)\) pontba került. Ha a \(\displaystyle (2;2;0)\) pontba került, akkor az ötödik lépésnél az első vagy a harmadik koordinátáját változtathatja, de az elsőt a feltételek szerint nem növelheti, mert abban az irányban csak 1/2 cm sajtréteg lenne előtte. Ha pedig az első koordinátát csökkenti, akkor rossz irányba lép. Vagyis ekkor 2/3 valószínűséggel éri el valamelyik célpontot. Ha viszont a \(\displaystyle (2;1;1)\) pontba került, akkor innen a 3 megengedett lépés valamelyikét választva csak az egyik során juthat el egy alkalmas célpontba, nevezetesen a \(\displaystyle (2;2;1)\) pontba.

Ha a harmadik lépés után az \(\displaystyle (1;1;1)\) pontba érkezett, akkor ezt követően az első vagy a második koordinátáját változtathatja, szimmetria okok miatt tehát feltételezhetjük, hogy 1/2 valószínűséggel a \(\displaystyle (2;1;1)\) pontba mozdult el. Ezután az ötödik lépésnél vagy a második, vagy a harmadik koordinátáját változtathatja bármelyik irányban; a lehetséges 4 irány közül kettő fogja egy alkalmas célpontba juttatni.

Összegezve, annak valószínűsége, hogy az ötödik lépés után valamelyik lehetséges célpontba kerül,

\(\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} \right)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{24}.\)

Azt gondolhatnánk, hogy ezzel megoldottuk a feladatot. Ez azonban nincs így, hiszen nem vettük figyelembe azt a feltevést, hogy a sajtkukac valóban megtett 5 cm utat. A megoldás akkor lesz csak teljes, ha megjegyezzük, hogy valahányszor a sajtkukac rossz irányba fordul (vagyis lépésével nem növeli valamelyik koordinátájának (bszolút értékét), még megvan a lehetősége arra, hogy összesen 5 cm utat bejárjon.


Statistics on problem B. 4374.
49 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Czipó Bence, Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Mócsy Miklós, Strenner Péter, Viharos Andor.
3 points:Beleznay Soma, Maga Balázs.
2 points:12 students.
1 point:10 students.
0 point:16 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley