KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4376. (September 2011)

B. 4376. Prove that if x, y are non-negative numbers then

x^4 + y^3 + x^2 + y + 1 > \frac{9}{2}xy .

Suggested by J. Szoldatics, Dunakeszi

(4 pont)

Deadline expired on 10 October 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tetszőleges \(\displaystyle a,b\) valós számokra \(\displaystyle (a-b)^2\ge 0\) miatt teljesül \(\displaystyle a^2+b^2\ge 2ab\). Ezért \(\displaystyle x^4+1\ge 2x^2\), továbbáha \(\displaystyle y\) nemnegatív, akkor \(\displaystyle y^3+y=y(y^2+1)\ge y(2y)=2y^2\). Mindezek alapján

\(\displaystyle x^4 + y^3 + x^2 + y + 1\ge 3x^2+2y^2\ge 2(\sqrt{3}x)(\sqrt{2}y)> \frac{9}{2}xy,\)

hiszen \(\displaystyle xy\) nemnegatív és \(\displaystyle 2\sqrt{6}>9/2\).


Statistics:

93 students sent a solution.
4 points:70 students.
3 points:7 students.
2 points:1 student.
1 point:5 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley