Problem B. 4378. (September 2011)

B. 4378. Let p denote a positive prime number. Solve the equation

x³y³+x³y²-x²y³+x²y²-x+y=p+2

on the set of integers.

Suggested by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megoldás kulcsa a következő átalakítás:

\(\displaystyle x^3y^3 + x^3y^2 - x^2y^3 + x^2y^2 - x + y-2= (xy-1)(x^2y^2+x^2y-xy^2+2xy+x-y+2)\)

\(\displaystyle =(xy-1)\Bigl( (xy+1)(xy+1+x-y)+1 \Bigr).\)

Ez a szorzat csak úgy lehet egyenlő az adott \(\displaystyle p\) prímszámmal, ha valamelyik tényezője \(\displaystyle \pm1\), és ennek megfelelően a másik tényezője \(\displaystyle \pm p\). Ennek megfelelően 4 esetet különböztethetünk meg.

1. eset: \(\displaystyle xy-1=-1\) és \(\displaystyle (xy+1)(xy+1+x-y)+1=-p\); ekkor \(\displaystyle xy=0\). Ha \(\displaystyle x=0\), akkor \(\displaystyle y=p+2\), ha pedig \(\displaystyle y=0\), akkor \(\displaystyle x=-p-2\).

2. eset: \(\displaystyle xy-1=1\) és \(\displaystyle (xy+1)(xy+1+x-y)+1=p\); ekkor \(\displaystyle xy=2\) és \(\displaystyle 3\cdot(3+x-y)+1=p\). Ez négyféleképpen fordulhat elő:

a) \(\displaystyle x=1\), \(\displaystyle y=2\), \(\displaystyle p=7\);

b) \(\displaystyle x=2\), \(\displaystyle y=1\), \(\displaystyle p=13\);

c) \(\displaystyle x=-1\), \(\displaystyle y=-2\), \(\displaystyle p=13\);

d) \(\displaystyle x=-2\), \(\displaystyle y=-1\), \(\displaystyle p=7\).

3. eset: \(\displaystyle xy-1=p\) és \(\displaystyle (xy+1)(xy+1+x-y)+1=1\); ekkor \(\displaystyle xy=p+1\) és \(\displaystyle (p+2)(p+2+x-y)=0\), ahonnan \(\displaystyle y=x+p+2\). Tehát \(\displaystyle x(x+p+2)=p+1\). Itt vagy mindkét tényező pozitív, vagy mindkettő negatív. Az első esetben \(\displaystyle x\ge 1\), \(\displaystyle x+p+2\ge p+3\), \(\displaystyle x(x+p+2)\ge p+3>p+1\), a másodikban \(\displaystyle x+p+2\le -1\), \(\displaystyle x\le -p-3\), \(\displaystyle x(x+p+2)\ge p+3>p+1\); mindkét eset lehetetlen.

4. eset: \(\displaystyle xy-1=-p\) és \(\displaystyle (xy+1)(xy+1+x-y)+1=-1\); ekkor \(\displaystyle xy=1-p\) és \(\displaystyle (2-p)(2-p+x-y)=-2\). Ez csak a \(\displaystyle p=3\) esetben lehetséges, amikor is \(\displaystyle xy=-2\) és \(\displaystyle x-y-1=2\), vagyis \(\displaystyle x=1\) és \(\displaystyle y=-2\), vagy \(\displaystyle x=2\) és \(\displaystyle y=-1\). összefoglalva, az egyenletnek általában két megoldása van: \(\displaystyle x=0\), \(\displaystyle y=p+2\) és \(\displaystyle x=-p-2\), \(\displaystyle y=0\). Ha pedig \(\displaystyle p\) értéke 3, 7 vagy 13, akkor további két megoldás létezik a fentiek szerint.

Statistics:

67 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Tamás, Demeter Dániel, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Garamvölgyi Péter, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Katona Dániel, Kiss 065 Eszter, Maga Balázs, Makk László, Máthé László, Mester Márton, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Varga 149 Imre Károly, Varnyú József, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zahemszky Péter.
4 points:	Bánovics Gábor, Bősze Zsuzsanna, Dolgos Tamás, Géczi Péter Attila, Győrfi 946 Mónika, Homonnay Bálint, Kaprinai Balázs, Nagy Róbert, Sticza Gergő, Szilágyi Gergely Bence, Zilahi Tamás.
3 points:	8 students.
2 points:	14 students.
1 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011