KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4379. (September 2011)

B. 4379. Given the points different from the vertices where the exterior angle bisectors of a non-isosceles triangle intersect the circumscribed circle, construct the triangle.

(4 pont)

Deadline expired on 10 October 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A háromszög csúcsait jelölje pozitív körüljárás szerint \(\displaystyle A,B,C\), a szóban forgó metszéspontokat értelemszerűen \(\displaystyle A',B',C'\), a körülírt kör középpontját \(\displaystyle O\).

Minthogy a háromszög nem egyenlő szárú, \(\displaystyle C\ne C'\). A szokásos jelöléseket megtartva, dolgozzunk irányított szögekkel. Ha a \(\displaystyle C'\) pont az ábrán látható módon helyezkedik el, akkor \(\displaystyle BCC'\sphericalangle=90^\circ-\gamma/2\), ellenkező esetben \(\displaystyle BCC'\sphericalangle=270^\circ-\gamma/2\). A kerületi és középponti szögek között fennálló összefüggés alapján mindkét esetben \(\displaystyle BOC'\sphericalangle=180^\circ-\gamma\). Minthogy \(\displaystyle BOC\sphericalangle=2\alpha\), innen azt kapjuk, hogy \(\displaystyle C'OC\sphericalangle=BOC\sphericalangle-BOC'\sphericalangle=2\alpha+\gamma-180^\circ\). Hasonlóan \(\displaystyle COA'\sphericalangle=180^\circ-\alpha\), vagyis \(\displaystyle C'OA'\sphericalangle=C'OC\sphericalangle+COA'\sphericalangle=\alpha+\gamma= 180^\circ-\beta\). Ugyanilyen alapon \(\displaystyle A'OB'\sphericalangle=180^\circ-\gamma\) és \(\displaystyle B'OC'\sphericalangle=180^\circ-\alpha\).

Ennek alapján a szerkesztést a következőképpen végezhetjük el. Először is szükséges, hogy a három adott pont ne essen egy egyenesre. Ha ez teljesül, akkor a jól ismert módszerrel megszerkeszthetjük az \(\displaystyle O\) pontot és a háromszög köré írható kört. A három pontot jelöljük meg pozitív forgásirányban \(\displaystyle A',B',C'\) módon. Szükséges, hogy az \(\displaystyle A'OB', B'OC', C'OA'\) szögek \(\displaystyle 180^\circ\)-nál kisebbek legyenek, és semelyik kettő ne legyen egyenlő. Ha ez teljesül, akkor az ezeket \(\displaystyle 180^\circ\)-ra kiegészítő szögekkel megkapjuk a háromszög \(\displaystyle \gamma, \alpha, \beta\) szögeit. Ezután a \(\displaystyle C'O\) szakaszt \(\displaystyle O\) körül \(\displaystyle 2\alpha+\gamma-180^\circ\) szöggel elforgatva kapjuk meg a \(\displaystyle C\) pontot. Hasonló eljárással az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsokat is megszerkeszthetjük. Könnyű meggondolni, hogy az említett feltételek teljesülése esetén az így kapott \(\displaystyle ABC\) háromszög lesz a feladat egyértelmű megoldása.


Statistics:

77 students sent a solution.
4 points:Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Janzer Olivér, Machó Bónis, Mester Márton, Szabó 928 Attila.
3 points:45 students.
2 points:18 students.
1 point:1 student.
0 point:7 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley