Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4380. (September 2011)

B. 4380. m points are chosen on the sides of a convex k-sided polygon, such that the resulting point set \mathcal{P} of n=k+m elements is centrally symmetric. Prove that there may be at most 2n-3 line segments of equal length among the \binom{n}{2} line segments determined by the points of the set \mathcal{P}. For what point sets \mathcal{P} are there 2n-3 line segments of equal length?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nyilván \(\displaystyle n\ge 4\) páros szám. Ha \(\displaystyle n=4\), akkor \(\displaystyle k=4\), \(\displaystyle m=0\), a konvex \(\displaystyle k\)-szög egy paralelogramma, az állítás pedig nyilvánvaló: nem lehet minden oldal és mindkét átló ugyanolyan hosszú. Az is világos, hogy pontosan akkor lesz 5 ugyanolyan hosszú szakasz, ha a sokszög olyan rombusz, melynek egyik szöge \(\displaystyle 60^\circ\)-os.

Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle n\ge 6\), és az állítást \(\displaystyle (n-2)\)-elemű ponthalmazok esetén már beláttuk. A szimmetriaközéppontot jelölje \(\displaystyle O\), a \(\displaystyle \mathcal{P}\) ponthalmaznak \(\displaystyle O\)-tól egyik legtávolabb eső pontja legyen \(\displaystyle A\), ennek tükörképe \(\displaystyle O\)-ra \(\displaystyle A'\). Ekkor \(\displaystyle A'\in \mathcal{P}\), és a ponthalmaz összes pontja az \(\displaystyle AA'\) átmérőjű körlemezen helyezkedik el. Legyen \(\displaystyle d>0\) egy tetszőleges távolság. Azt állítjuk, hogy az \(\displaystyle AA'\) egyenesre támaszkodó bármely zárt \(\displaystyle H\) félsíkban a \(\displaystyle \mathcal{P}\) ponthalmaznak legfeljebb egy olyan pontja található, amely az \(\displaystyle A\) ponttól \(\displaystyle d\) távolságra helyezkedik el. Tegyük fel ugyanis, hogy \(\displaystyle B,C\in \mathcal{P}\cap H\) és \(\displaystyle AB=AC=d\). Az általánosság megszorítása nélkül felthető, hogy \(\displaystyle CAO\sphericalangle<BAO\sphericalangle\). Nyilván \(\displaystyle d<AA'\). Mivel az \(\displaystyle ABC\) háromszög egyenlőszárú, \(\displaystyle ABC\sphericalangle<90^\circ\le ABA'\sphericalangle\). Ezért a \(\displaystyle C\) pont vagy az \(\displaystyle ABA'\) háromszög belsejében, vagy az \(\displaystyle AA'\) szakasz belsejében helyezkedik el, tehát mindenképpen az \(\displaystyle ABA'B'\) paralelogramma belsejében, ahol \(\displaystyle B'\) a \(\displaystyle B\) pontnak \(\displaystyle O\)-ra vonatkozó tükörképe. Ez viszont ellentmond a \(\displaystyle \mathcal{P}\) ponthalmaz konstrukciójának, hiszen \(\displaystyle B'\in \mathcal{P}\).

A \(\displaystyle \mathcal{P}\) ponthalmaznak tehát legfeljebb két olyan pontja van, amely \(\displaystyle d\) távolságra van \(\displaystyle A\)-tól. A szimmetria miatt ez \(\displaystyle A\) helyett az \(\displaystyle A'\) pontra is igaz. Hagyjuk el most a ponthalmazból az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle A'\) pontokat. Így egy olyan \(\displaystyle \mathcal{P}'\) ponthalmazt kapunk, amelynek \(\displaystyle n-2\ge 4\) pontja van, és ugyanúgy szimmetrikus az \(\displaystyle O\) pontra. Könnyű látni, hogy ez is csak a feladatban leírt módon jöhetett létre. Az indukciós feltevés miatt a \(\displaystyle \mathcal{P}'\) pontjai által meghatározott szakaszok között legfeljebb \(\displaystyle 2(n-2)-3=2n-7\) lehet \(\displaystyle d\) hosszúságú, így a \(\displaystyle \mathcal{P}\) pontjai által meghatározott szakaszok között valóban legfeljebb \(\displaystyle (2n-7)+4=2n-3\) lehet \(\displaystyle d\) hosszúságú.

Most megmutatjuk, hogy \(\displaystyle 2n-3\) darab \(\displaystyle d\) hosszúságú szakasz akkor és csak akkor található, ha \(\displaystyle k=4\), \(\displaystyle m\) páros, a \(\displaystyle k\)-szög egy olyan paralelogramma, melynek egyik oldala \(\displaystyle d\), másik \(\displaystyle (\frac{m}{2}+1)d\) hosszú, az egyik szöge \(\displaystyle 60^\circ\)-os, és az \(\displaystyle m\) pont úgy helyezkedik el a két hosszabbik oldalon, hogy azokat \(\displaystyle d\) hosszúságú részekre osztja. Más szóval, ha a ponthalmaz \(\displaystyle P_1,\ldots,P_{m/2+2},Q_1,\ldots,Q_{m/2+2}\) alakú, ahol \(\displaystyle \overrightarrow{P_1P_2}=\overrightarrow{P_2P_3}=\ldots=\overrightarrow{P_{m/2+1}P_{m/2+2}}= \overrightarrow{Q_1Q_2}=\overrightarrow{Q_2Q_3}=\ldots=\overrightarrow{Q_{m/2+1}Q_{m/2+2}}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{P_1Q_1}\) \(\displaystyle d\) hosszúságú vektorok, ahol \(\displaystyle P_2P_1Q_1\sphericalangle=60^\circ\). Ebben a ponthalmazban a \(\displaystyle d\) hosszú szakaszok éppen a \(\displaystyle P_iP_{i+1}\), \(\displaystyle Q_iQ_{i+1}\), \(\displaystyle P_iQ_i\) és \(\displaystyle Q_iP_{i+1}\) szakaszok, melyek száma

\(\displaystyle \left(\frac{m}{2}+1\right)+\left(\frac{m}{2}+1\right)+ \left(\frac{m}{2}+2\right)+\left(\frac{m}{2}+1\right)=2m+5=2n-3.\)

Ezt \(\displaystyle n=4\) esetén már beláttuk, az általános eset pedig könnyen igazolható indukcióval. Ehhez egyrészt azt kell észrevennünk, hogy ha az \(\displaystyle n\ge 6\) pontú \(\displaystyle \mathcal{P}\) ponthalmazban \(\displaystyle 2n-3\) darab \(\displaystyle d\) hosszú szakasz van, akkor a fenti érveléssel kapott \(\displaystyle \mathcal{P}\) ponthalmazban \(\displaystyle 2(n-2)-3\) darab \(\displaystyle d\) hosszú szakasznak kell lenni, ami az indukciós feltevés szerint \(\displaystyle \mathcal{P}'\) szerkezetét már meghatározza, másrészt, hogy az elhagyott \(\displaystyle A,A'\) pontokból 2-2 \(\displaystyle d\) hosszúságú szakasznak kell indulni, ami az \(\displaystyle A,A'\) pontok helyzetét az \(\displaystyle n=6\) esettől eltekintve egyértelműen meghatározza, az \(\displaystyle n=6\) esetben pedig két megoldást enged meg, melyek azonban egybevágóak. A részleteket az olvasóra bízzuk.


Statistics:

5 students sent a solution.
5 points:Mester Márton, Strenner Péter.
4 points:Katona Dániel, Nagy Róbert.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011