KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4385. (October 2011)

B. 4385. Solve the simultaneous equations {x}={x2}={x3} (where {y} denotes the fractional part of the number y, obtained by subtracting from y the greatest integer not greater than y).

(4 pont)

Deadline expired on 10 November 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle x\) valós szám megoldása az egyenletrendszernek. Ekkor \(\displaystyle x^2-x\) és \(\displaystyle x^3-x^2=x(x^2-x)\) is egész számok. Ha \(\displaystyle x^2-x\ne 0\), akkor a két szám hányadosa, vagyis \(\displaystyle x\) racionális szám. Ez akkor is igaz, ha \(\displaystyle x^2-x=0\), hiszen ekkor \(\displaystyle x\) értéke 0 vagy 1. Legyen tehát \(\displaystyle x=a/b\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egymáshoz relatív prím egész számok. Ekkor \(\displaystyle x^2-x=\frac{a^2-ab}{b^2}\). Ha ez egész szám, akkor \(\displaystyle a^2-ab\), és így \(\displaystyle a^2\) is osztható \(\displaystyle b\)-vel. Mivel \(\displaystyle (a,b)=1\), ez csak \(\displaystyle b=\pm1\) esetén lehetséges, ami azt jelenti, hogy \(\displaystyle x\) egész szám. Minthogy pedig minden \(\displaystyle x\) egész számra \(\displaystyle \{x\} =\{x^2\} =\{x^3\}=0\), az egyenletrendszer megoldásai éppen az egész számok.


Statistics:

97 students sent a solution.
4 points:Barna István, Bősze Zsuzsanna, Bunth Gergely, Dolgos Tamás, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Hajnal Péter János, Halász Dániel, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Máthé László, Mester Márton, Mihálykó András, Nagy Róbert, Sagmeister Ádám, Tossenberger Tamás, Trócsányi Péter, Viharos Andor.
3 points:34 students.
2 points:6 students.
0 point:37 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley