KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4387. (October 2011)

B. 4387. In the cyclic hexagon ABCDEF, AB=BC, CD=DE and EF=FA. Prove that the area of the triangle BDF is half the area of the hexagon.

(4 pont)

Deadline expired on 10 November 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is nem árt meggondolni, hogy a körülírt kör középpontja a sokszög belsejébe esik, ellenkező esetben ugyanis a sokszöget a kör középpontjától elválasztó oldalánál az összes többi oldal rövidebb lenne. Legyen a kör sugara egységnyi, középpontja legyen \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle EF\) oldalakhoz tartozó középponti szögeket pedig jelölje rendre \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), illetve \(\displaystyle \gamma\), ekkor \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^\circ\).

Az \(\displaystyle AOB\) és \(\displaystyle BOC\) háromszögek területe például ekkor \(\displaystyle (\sin \alpha)/{2}\). A hatszöget az \(\displaystyle O\) pontból hat háromszögre felbontva kapjuk, hogy a hatszög területe

\(\displaystyle T=\sin \alpha+\sin\beta+\sin\gamma\ .\)

Hasonlóképpen a \(\displaystyle BOD\) háromszög területe

\(\displaystyle \frac{\sin(\alpha+\beta)}{2}=\frac{\sin\gamma}{2}\ ,\)

hiszen \(\displaystyle \gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)\). A \(\displaystyle BDF\) háromszöget az \(\displaystyle O\) pontból három háromszögre felbontva kapjuk, hogy a \(\displaystyle BDF\) háromszög területe

\(\displaystyle t=t_{BOD}+t_{DOF}+t_{FOB}=\frac{\sin\gamma}{2}+\frac{\sin\alpha}{2}+ \frac{\sin\beta}{2}=\frac{T}{2}\ .\)


Statistics:

150 students sent a solution.
4 points:75 students.
3 points:41 students.
2 points:21 students.
1 point:8 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley