Problem B. 4388. (October 2011)

B. 4388. D is an interior point of side AB of an acute-angled triangle ABC. The line drawn through D parallel to side AC intersects side BC at E, and the line drawn through D parallel to side BC intersects side AC at F. The other intersection of the circles ADF and BDE is G. Prove that ABEF is a cyclic quadrilateral if and only if G lies on the line segment CD.

(Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom)

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle ADF\) és \(\displaystyle DBE\) háromszögek hasonlóak az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz; a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle AFD\sphericalangle=DEB\sphericalangle=\gamma\). Az \(\displaystyle ADF\), illetve \(\displaystyle DEB\) körökhöz a \(\displaystyle D\) pontban húzott érintők tehát az \(\displaystyle AB\) egyenessel \(\displaystyle \gamma\) szöget zárnak be. Mivel \(\displaystyle \gamma<90^\circ\), ezek a körök az \(\displaystyle AB\) egyenesnek \(\displaystyle C\)-t tartalmazó oldalán metszik egymást, így a \(\displaystyle G\) pont is az \(\displaystyle AB\) egyenesnek erre az oldalára esik.

Az \(\displaystyle ABEF\) négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha \(\displaystyle CEF\sphericalangle=\alpha\) és \(\displaystyle CFE\sphericalangle=\beta\) (ez a két utóbbi feltétel persze ekvivalens egymással), vagyis ha az \(\displaystyle EF\) egyenes az \(\displaystyle ADF\) és \(\displaystyle DBE\) körök közös érintője; ekkor a \(\displaystyle G\) pont nyilván az \(\displaystyle EFD\) háromszög belsejébe esik. Feltehetjük tehát, hogy a \(\displaystyle G\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög belső pontja, ellenkező esetben ugyanis sem \(\displaystyle ABEF\) nem lehet húrnégyszög, sem pedig \(\displaystyle G\) nem lehet rajta a \(\displaystyle CD\) szakaszon. Ekkor utalhatunk az alábbi ábrára. Mivel \(\displaystyle EGD\sphericalangle=180^\circ-\beta\) és \(\displaystyle FGD\sphericalangle=180^\circ-\alpha\), látható, hogy \(\displaystyle EGF\sphericalangle=180^\circ-\gamma\), vagyis az \(\displaystyle ECFG\) négyszög húrnégyszög.

Ekkor tehát így érvelhetünk. Az \(\displaystyle ABEF\) négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha \(\displaystyle CFE\sphericalangle=\beta\), vagyis ha \(\displaystyle CGE\sphericalangle=\beta\). Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle EGD\sphericalangle=180^\circ-\beta\), ez ekvivalens azzal, hogy a \(\displaystyle CGD\) szög egyenesszög, vagyis hogy a \(\displaystyle G\) pont rajta van a \(\displaystyle CD\) szakaszon.

Statistics:

63 students sent a solution.
4 points:	Barna István, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Demeter Dániel, Demeter Márton, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Garamvölgyi Péter, Gasparics Fanni, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Kiss 065 Eszter, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Makk László, Máthé László, Medek Ákos, Mester Márton, Mihálykó András, Nagy Anna Noémi, Nagy Róbert, Németh 722 Noémi, Nguyen Anh Tuan, Ódor Gergely, Papp Roland, Sagmeister Ádám, Somogyvári Kristóf, Szabó 789 Barnabás, Szilágyi Gergely Bence, Tekeli Tamás, Tran Duy An, Tulassay Zsolt, Varga 149 Imre Károly, Varnyú József, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Wiandt Zsófia, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
3 points:	8 students.
2 points:	4 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2011