Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4391. (October 2011)

B. 4391. A height of a pentagon is defined as the distance of a vertex from the opposite side. Let P be a pentagon with all angles equal to 108o and all heights different. Show that it is possible to number the consecutive vertices of P in an appropriate direction around the pentagon, such that the corresponding heights satisfy the inequalities h1>h3>h4>h5>h2.

(Suggested by P. Kevei and V. Vígh, Szeged)

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek az ötszög oldalai valamilyen körüljárás szerint \(\displaystyle a,b,c,d,e\), az \(\displaystyle x\) oldalhoz tartozó magasságot jelölje \(\displaystyle m_x\). Ekkor a \(\displaystyle \kappa=\sin72^\circ\), \(\displaystyle \lambda=\sin36^\circ\) jelöléssel, ahol \(\displaystyle \kappa>\lambda>0\), a magasságokra és az oldalakra felírhatjuk az alábbi összefüggéseket.

\(\displaystyle m_a=\kappa b+\lambda c=\kappa e+\lambda d,\ m_b=\kappa c+\lambda d=\kappa a+\lambda e,\ m_c=\kappa d+\lambda e=\kappa b+\lambda a,\)

\(\displaystyle m_d=\kappa e+\lambda a=\kappa c+\lambda b,\ m_e=\kappa a+\lambda b=\kappa d+\lambda c.\)

Az \(\displaystyle a,b,c,d,e\) jelek ciklikus permutációi ezeket hasonlóképpen permutálják. Ezekből az egyenletekből könnyen leolvasható, hogy az ötszögnek nem lehet két egyforma hosszú oldala. Ezt különben geometriailag is egyszerű ellenőrizni: ha van két azonos hosszúságú oldal, akkor az ötszög tengelyesen szimmetrikus, lesznek benne tehát egyenlő magasságok is.

Tegyük fel tehát, hogy \(\displaystyle e\) a legrövidebb oldal, és \(\displaystyle a>d\). Ez utóbbi feltétel miatt az ötödik egyenletből \(\displaystyle b<c\) következik, az első egyenletből pedig \(\displaystyle e<b\) miatt \(\displaystyle d>c\), vagyis \(\displaystyle e<b<c<d<a\). Azt állítjuk, hogy ekkor \(\displaystyle m_a<m_d<m_c<m_b<m_e\), vagyis ha az oldalak számozását a legrövidebb oldaltól (\(\displaystyle e\)) kezdjük, és annak hosszabbik szomszédjánál (\(\displaystyle a\)) folytatjuk, az megfelelő lesz.

Először is vegyük észre, hogy ha \(\displaystyle s>t\), akkor \(\displaystyle (\kappa-\lambda)(s-t)>0\) miatt \(\displaystyle \kappa s+\lambda t>\kappa t+\lambda s\). Ezt a \(\displaystyle d>c\), illetve \(\displaystyle c>b\) esetre alkalmazva kapjuk az

\(\displaystyle m_e=\kappa d+\lambda c>\kappa c+\lambda d=m_b,\quad m_d=\kappa c+\lambda b>\kappa b+\lambda c=m_a\)

egyenlőtlenségeket. Mivel \(\displaystyle d>c\) miatt \(\displaystyle \kappa d>\kappa c\), valamint \(\displaystyle b>e\) miatt \(\displaystyle \kappa b+\lambda e>\kappa e+\lambda b\), látható, hogy \(\displaystyle m_c>m_d\), hiszen

\(\displaystyle 2m_c=(\kappa d+\lambda e)+(\kappa b+\lambda a)> (\kappa e+\lambda a)+(\kappa c+\lambda b)=2m_d.\)

Hasonlóképpen nyerjük a hiányzó \(\displaystyle m_b>m_c\) egyenlőtlenséget is:

\(\displaystyle 2m_b=(\kappa c+\lambda d)+(\kappa a+\lambda e)= \kappa c+ (\kappa a+ \lambda d ) +\lambda e>\)

\(\displaystyle >\kappa b+ (\kappa d+ \lambda a ) +\lambda e= (\kappa d+\lambda e)+(\kappa b+\lambda a)=2m_c.\)


Statistics:

20 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bingler Arnold, Fehér Zsombor, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kaprinai Balázs, Mester Márton, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Tardos Jakab, Varnyú József, Viharos Andor.
4 points:Jávorszky Natasa.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2011