Problem B. 4394. (November 2011)

B. 4394. Consider the Fibonacci sequence defined by the recursive formula F₁=F₂=1, F_n=F_n-1+F_n-2. Prove that if k<m, then is a composite number.

Suggested by D. Lenger, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on December 12, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A rekurzió alapján

\(\displaystyle \sum_{i=k}^{m} F_i F_{i+3}=\sum_{i=k}^{m}(F_{i+2}-F_{i+1})(F_{i+2}+F_{i+1}) =\sum_{i=k}^{m}(F_{i+2}^2-F_{i+1}^2)=\)

\(\displaystyle =F_{m+2}^2-F_{k+1}^2=(F_{m+2}-F_{k+1})(F_{m+2}+F_{k+1}).\)

Mivel \(\displaystyle m>k\) miatt \(\displaystyle F_m\ge F_{k+1}\) és \(\displaystyle m\ge 2\) is fennáll, itt

\(\displaystyle F_{m+2}+F_{k+1}>F_{m+2}-F_{k+1}\ge F_{m+2}-F_{m}=F_{m+1}\ge F_3=2,\)

vagyis mindkét tényező nagyobb, mint 1; szorzatuk valóban összetett szám.

Statistics:

59 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Barna István, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Dolgos Tamás, Fehér Zsombor, Géczi Péter Attila, Győrfi 946 Mónika, Halász Dániel, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Katona Dániel, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Makk László, Mester Márton, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Nagy-György Pál, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Szabó 262 Lóránt, Szabó 777 Bence, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szász Dániel Soma, Szőke Tamás, Takács 737 Gábor, Talyigás Gergely, Tanner Martin, Tardos Jakab, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Varnyú József, Viharos Andor, Weimann Richárd, Wiandt Zsófia, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
3 points:	8 students.
2 points:	1 student.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2011