KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4394. (November 2011)

B. 4394. Consider the Fibonacci sequence defined by the recursive formula F1=F2=1, Fn=Fn-1+Fn-2. Prove that if k<m, then \sum_{i=k}^{m} F_i F_{i+3} is a composite number.

Suggested by D. Lenger, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on 12 December 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A rekurzió alapján

\(\displaystyle \sum_{i=k}^{m} F_i F_{i+3}=\sum_{i=k}^{m}(F_{i+2}-F_{i+1})(F_{i+2}+F_{i+1}) =\sum_{i=k}^{m}(F_{i+2}^2-F_{i+1}^2)=\)

\(\displaystyle =F_{m+2}^2-F_{k+1}^2=(F_{m+2}-F_{k+1})(F_{m+2}+F_{k+1}).\)

Mivel \(\displaystyle m>k\) miatt \(\displaystyle F_m\ge F_{k+1}\) és \(\displaystyle m\ge 2\) is fennáll, itt

\(\displaystyle F_{m+2}+F_{k+1}>F_{m+2}-F_{k+1}\ge F_{m+2}-F_{m}=F_{m+1}\ge F_3=2,\)

vagyis mindkét tényező nagyobb, mint 1; szorzatuk valóban összetett szám.


Statistics:

59 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Barna István, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Dolgos Tamás, Fehér Zsombor, Géczi Péter Attila, Győrfi 946 Mónika, Halász Dániel, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Katona Dániel, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Makk László, Mester Márton, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Nagy-György Pál, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Szabó 262 Lóránt, Szabó 777 Bence, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szász Dániel Soma, Szőke Tamás, Takács 737 Gábor, Talyigás Gergely, Tanner Martin, Tardos Jakab, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Varnyú József, Viharos Andor, Weimann Richárd, Wiandt Zsófia, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
3 points:8 students.
2 points:1 student.
0 point:6 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley