KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4394. Consider the Fibonacci sequence defined by the recursive formula F1=F2=1, Fn=Fn-1+Fn-2. Prove that if k<m, then \sum_{i=k}^{m} F_i F_{i+3} is a composite number.

Suggested by D. Lenger, Budapest

(4 points)

Deadline expired on 12 December 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A rekurzió alapján

\(\displaystyle \sum_{i=k}^{m} F_i F_{i+3}=\sum_{i=k}^{m}(F_{i+2}-F_{i+1})(F_{i+2}+F_{i+1}) =\sum_{i=k}^{m}(F_{i+2}^2-F_{i+1}^2)=\)

\(\displaystyle =F_{m+2}^2-F_{k+1}^2=(F_{m+2}-F_{k+1})(F_{m+2}+F_{k+1}).\)

Mivel \(\displaystyle m>k\) miatt \(\displaystyle F_m\ge F_{k+1}\) és \(\displaystyle m\ge 2\) is fennáll, itt

\(\displaystyle F_{m+2}+F_{k+1}>F_{m+2}-F_{k+1}\ge F_{m+2}-F_{m}=F_{m+1}\ge F_3=2,\)

vagyis mindkét tényező nagyobb, mint 1; szorzatuk valóban összetett szám.


Statistics on problem B. 4394.
59 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Barna István, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Dolgos Tamás, Fehér Zsombor, Géczi Péter Attila, Győrfi 946 Mónika, Halász Dániel, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Katona Dániel, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Makk László, Mester Márton, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Nagy-György Pál, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Szabó 262 Lóránt, Szabó 777 Bence, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szász Dániel Soma, Szőke Tamás, Takács 737 Gábor, Talyigás Gergely, Tanner Martin, Tardos Jakab, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Varnyú József, Viharos Andor, Weimann Richárd, Wiandt Zsófia, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
3 points:8 students.
2 points:1 student.
0 point:6 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley