KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4398. (November 2011)

B. 4398. A1, B1 and C1 are given points on sides BC, CA and AB, respectively, of the acute-angled triangle ABC. Mark a point A2 on the circle AC1B1. Let B2 be the intersection (different from C1) of the line C1A2 with the circle BA1C1. Furthermore, let C2 be the intersection (different from A1) of the line A1B2 and the circle CB1A1. Prove that the points A2, B1 and C2 are collinear.

(4 pont)

Deadline expired on 12 December 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladat szövege alapján feltesszük, hogy egyértelműen léteznek a szóban forgó metszéspontok és egyenesek, tehát \(\displaystyle A_2\ne C_1\ne B_2\ne A_1\). Jegyezzük meg azt is, hogy \(\displaystyle A_2=A\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle B_2=B\), ami ekvivalens azzal, hogy \(\displaystyle C_2=C\); ebben az esetben az állítás nyilvánvaló. Az állítás magától értetődő akkor is, ha az \(\displaystyle A_2,B_1,C_2\) pontok közül valamelyik kettő egybeesik. Ezek alapján feltehetjük, hogy az alábbi érvelést nem érinti semmiféle kedvezőtlen egybeesés.

Érdemes lesz irányított szögekkel dolgozni. Ha az \(\displaystyle \alpha,\beta\) irányított szögekre \(\displaystyle \alpha-\beta\) a \(\displaystyle 180^\circ\)-nak egész számú többszöröse, akkor ezt \(\displaystyle \alpha\equiv\beta\) módon fogjuk jelölni. Mármost ha az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) pontok egy körön vannak, akkor a kerületi szögek tétele szerint \(\displaystyle ACB\sphericalangle\equiv ADB\sphericalangle\) (feltéve, hogy ezek a szögek értelmezhetők). Továbbá az egymástól különböző \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) pontokra \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontosan akkor vannak egy egyenesen, ha \(\displaystyle CBA\sphericalangle\equiv DBA\sphericalangle\). A feladat szövegét erre a nyelvezetre lefordítva

\(\displaystyle C_2B_1A\sphericalangle\equiv C_2B_1C\sphericalangle\equiv C_2A_1C\sphericalangle\equiv B_2A_1C\sphericalangle\equiv B_2A_1B\sphericalangle\equiv\)

\(\displaystyle \equiv B_2C_1B\sphericalangle\equiv A_2C_1B\sphericalangle\equiv A_2C_1A\sphericalangle\equiv A_2B_1A\sphericalangle.\)

Ezek szerint \(\displaystyle C_2B_1A\sphericalangle\equiv A_2B_1A\sphericalangle\), ami éppen a bizonyítandó állítást jelenti.


Statistics:

80 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bingler Arnold, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Machó Bónis, Nagy Anna Noémi, Tulassay Zsolt, Weimann Richárd, Zilahi Tamás.
3 points:Baranyi Eszter, Bauer Barbara, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Filó Tamás, Kaprinai Balázs, Kovács-Deák Máté, Leitereg András, Leitereg Miklós, Nagy-György Pál, Varjú János.
2 points:51 students.
1 point:2 students.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley