Problem B. 4398. (November 2011)

B. 4398. A₁, B₁ and C₁ are given points on sides BC, CA and AB, respectively, of the acute-angled triangle ABC. Mark a point A₂ on the circle AC₁B₁. Let B₂ be the intersection (different from C₁) of the line C₁A₂ with the circle BA₁C₁. Furthermore, let C₂ be the intersection (different from A₁) of the line A₁B₂ and the circle CB₁A₁. Prove that the points A₂, B₁ and C₂ are collinear.

(4 pont)

Deadline expired on December 12, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladat szövege alapján feltesszük, hogy egyértelműen léteznek a szóban forgó metszéspontok és egyenesek, tehát \(\displaystyle A_2\ne C_1\ne B_2\ne A_1\). Jegyezzük meg azt is, hogy \(\displaystyle A_2=A\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle B_2=B\), ami ekvivalens azzal, hogy \(\displaystyle C_2=C\); ebben az esetben az állítás nyilvánvaló. Az állítás magától értetődő akkor is, ha az \(\displaystyle A_2,B_1,C_2\) pontok közül valamelyik kettő egybeesik. Ezek alapján feltehetjük, hogy az alábbi érvelést nem érinti semmiféle kedvezőtlen egybeesés.

Érdemes lesz irányított szögekkel dolgozni. Ha az \(\displaystyle \alpha,\beta\) irányított szögekre \(\displaystyle \alpha-\beta\) a \(\displaystyle 180^\circ\)-nak egész számú többszöröse, akkor ezt \(\displaystyle \alpha\equiv\beta\) módon fogjuk jelölni. Mármost ha az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) pontok egy körön vannak, akkor a kerületi szögek tétele szerint \(\displaystyle ACB\sphericalangle\equiv ADB\sphericalangle\) (feltéve, hogy ezek a szögek értelmezhetők). Továbbá az egymástól különböző \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) pontokra \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontosan akkor vannak egy egyenesen, ha \(\displaystyle CBA\sphericalangle\equiv DBA\sphericalangle\). A feladat szövegét erre a nyelvezetre lefordítva

\(\displaystyle C_2B_1A\sphericalangle\equiv C_2B_1C\sphericalangle\equiv C_2A_1C\sphericalangle\equiv B_2A_1C\sphericalangle\equiv B_2A_1B\sphericalangle\equiv\)

\(\displaystyle \equiv B_2C_1B\sphericalangle\equiv A_2C_1B\sphericalangle\equiv A_2C_1A\sphericalangle\equiv A_2B_1A\sphericalangle.\)

Ezek szerint \(\displaystyle C_2B_1A\sphericalangle\equiv A_2B_1A\sphericalangle\), ami éppen a bizonyítandó állítást jelenti.

Statistics:

80 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bingler Arnold, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Machó Bónis, Nagy Anna Noémi, Tulassay Zsolt, Weimann Richárd, Zilahi Tamás.
3 points:	Baranyi Eszter, Bauer Barbara, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Filó Tamás, Kaprinai Balázs, Kovács-Deák Máté, Leitereg András, Leitereg Miklós, Nagy-György Pál, Varjú János.
2 points:	51 students.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2011