Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4399. feladat (2011. november)

B. 4399. Egy zsákban k db piros és n db zöld golyó van. Egyesével, visszatevés nélkül húzzuk ki a golyókat, és az első piros után megállunk. Átlagosan hányadik húzásnál következik ez be?

Javasolta: Maróti Gábor

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. december 12-én LEJÁRT.


Megoldás. A szóban forgó értéket jelölje \(\displaystyle E(k,n)\). Ha nincsen zöld golyó, akkor rögtön az első húzásra pirosat húzunk, vagyis \(\displaystyle E(k,0)=1\). Rögzített \(\displaystyle k\) mellett \(\displaystyle n\) szerinti teljes indukcióval belátjuk, hogy \(\displaystyle E(k,n)=\frac{k+n+1}{k+1}\). Láttuk, hogy \(\displaystyle n=0\) esetén ez igaz. Tegyük fel tehát, hogy \(\displaystyle n\ge 1\), és azt már igazoltuk, hogy \(\displaystyle E(k,n-1)=\frac{k+n}{k+1}\). Ezután így érvelhetünk. Annak a valószínűsége, hogy elsőre pirosat húzunk, \(\displaystyle \frac{k}{k+n}\). Ha viszont elsőre zöldet húztunk, aminek \(\displaystyle \frac{n}{k+n}\) a valószínűsége, akkor az első húzás után \(\displaystyle k\) db piros és \(\displaystyle n-1\) db zöld golyónk maradt. Így ebben az esetben az első húzást követően átlagosan \(\displaystyle E(k,n-1)\) húzás után fogunk megállni. Indukciós feltevésünk szerint tehát valóban

\(\displaystyle E(k,n)=\frac{k}{k+n}+\frac{n}{k+n}\cdot\bigl(E(k,n-1)+1\bigr)= \frac{k}{k+n}+\frac{n}{k+n}\cdot\left(\frac{k+n}{k+1}+1\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{n}{k+n}\cdot\frac{k+n}{k+1}+1=\frac{k+n+1}{k+1}.\)


Statisztika:

65 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Tamás, Czipó Bence, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Leitereg András, Leitereg Miklós, Mihálykó András, Mócsy Miklós, Nemes György, Rábai Domonkos, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Szabó 777 Bence, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Varnyú József, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:Nagy Bence Kristóf, Papp Roland, Sticza Gergő, Tanner Martin, Tilk Bence.
2 pontot kapott:20 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.

A KöMaL 2011. novemberi matematika feladatai