Problem B. 4400. (November 2011)

B. 4400. Is it possible to place a 1.05×1.05 square inside a unit cube?

(4 pont)

Deadline expired on December 12, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Vegyük fel az egységkocka élein az \(\displaystyle X,Y,Z,V\) pontokat az ábrának megfelelően úgy, hogy \(\displaystyle AX=BY=CZ=DV=x\) legyen. Mivel az \(\displaystyle XY,AB,CD\) és \(\displaystyle ZV\) szakaszok párhuzamosak, ez a négy pont egy síkban helyezkedik el. A Pithagorasz-tétel szerint \(\displaystyle XY^2=ZV^2=2(1-x)^2\), \(\displaystyle XV^2=YZ^2=1+2x^2\). Az \(\displaystyle XYZV\) négyszög tehát egy paralelogramma, amely szimmetrikus az \(\displaystyle EFGH\) síkra, vagyis téglalap. Ez a téglalap pontosan akkor négyzet, ha \(\displaystyle XY=YZ\), vagyis ha \(\displaystyle 2(1-x)^2=1+2x^2\), ami pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle x=1/4\). Ekkor ennek a négyzetnek az oldala \(\displaystyle 3\sqrt{2}/4>1,05\). Ezért ez a négyzet, és így maga az egységkocka is tartalmaz \(\displaystyle 1{,}05\times 1{,}05\)-ös négyzetet.

Statistics:

156 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Péter, Barna István, Bogye Balázs, Bunth Gergely, Czipó Bence, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Géczi Péter Attila, Gergely Anita, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Kabos Eszter, Kalló Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács-Deák Máté, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Maga Balázs, Mayer Emil, Medek Ákos, Mester Márton, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Ódor Gergely, Pálfi Dóra, Papp Roland, Rábai Domonkos, Schwarcz Tamás, Sticza Gergő, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Weimann Richárd, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
3 points:	47 students.
2 points:	28 students.
1 point:	6 students.
0 point:	35 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2011