KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4402. A white circle is inscribed in a dark unit square (see the figure). A dark square is inscribed in the circle, and the process is continued to infinity. What is the total of the dark areas?

(3 points)

Deadline expired on 10 January 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A legnagyobb fehér kör sugara 1/2, ezért a legkülső sötét tartomány területe \(\displaystyle 1-\pi/4\). A legnagyobb fehér körbe írt négyzet oldala \(\displaystyle \sqrt{2}/2=1/\sqrt{2}\), ezért a legnagyobb fehér tartomány területe \(\displaystyle \pi/4-1/2\), a két terület hányadosa pedig

\(\displaystyle \frac{4-\pi}{\pi-2}.\)

Hasonlósági megfontolásból ugyanezt a hányadost kapjuk, bármelyik sötét tartomány területét is osztjuk el a belülről közvetlenül mellette elhelyezkedő fehér tartományéval. Mivel ezek a tartományok így párokba állíthatók és együttesen az egész négyzetet lefedik a középpont kivételével, a sötét részek együttes \(\displaystyle S\) és a világos részek együttes \(\displaystyle F\) területére

\(\displaystyle S+F=1,\quad \frac{S}{F}=\frac{4-\pi}{\pi-2}\)

áll fenn, ahonnan

\(\displaystyle S=\frac{S}{S+F}=\frac{1}{1+\frac{F}{S}} =\frac{1}{1+\frac{\pi-2}{4-\pi}}=\frac{4-\pi}{2}\approx 0,43\)

adódik.


Statistics on problem B. 4402.
193 students sent a solution.
3 points:151 students.
2 points:23 students.
1 point:18 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley