Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4402. (December 2011)

B. 4402. A white circle is inscribed in a dark unit square (see the figure). A dark square is inscribed in the circle, and the process is continued to infinity. What is the total of the dark areas?

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A legnagyobb fehér kör sugara 1/2, ezért a legkülső sötét tartomány területe \(\displaystyle 1-\pi/4\). A legnagyobb fehér körbe írt négyzet oldala \(\displaystyle \sqrt{2}/2=1/\sqrt{2}\), ezért a legnagyobb fehér tartomány területe \(\displaystyle \pi/4-1/2\), a két terület hányadosa pedig

\(\displaystyle \frac{4-\pi}{\pi-2}.\)

Hasonlósági megfontolásból ugyanezt a hányadost kapjuk, bármelyik sötét tartomány területét is osztjuk el a belülről közvetlenül mellette elhelyezkedő fehér tartományéval. Mivel ezek a tartományok így párokba állíthatók és együttesen az egész négyzetet lefedik a középpont kivételével, a sötét részek együttes \(\displaystyle S\) és a világos részek együttes \(\displaystyle F\) területére

\(\displaystyle S+F=1,\quad \frac{S}{F}=\frac{4-\pi}{\pi-2}\)

áll fenn, ahonnan

\(\displaystyle S=\frac{S}{S+F}=\frac{1}{1+\frac{F}{S}} =\frac{1}{1+\frac{\pi-2}{4-\pi}}=\frac{4-\pi}{2}\approx 0,43\)

adódik.


Statistics:

193 students sent a solution.
3 points:151 students.
2 points:23 students.
1 point:18 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011