KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4404. (December 2011)

B. 4404. The angles of a polygon A1A2...A2n are all equal, and its sides satisfy A1A2=A3A4=...=A2n-1A2n and A2A3=A4A5=...=A2nA1. Prove that the polygon is cyclic.

(3 pont)

Deadline expired on 10 January 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle A_iA_{i+1}\) oldal felező merőlegesét \(\displaystyle f_i\), az \(\displaystyle f_1\) és \(\displaystyle f_2\) egyenesek metszéspontját \(\displaystyle O\). Ha az \(\displaystyle f_i\) egyenesre \(\displaystyle 2\le i\le 2n-2\) tükrözzük az \(\displaystyle A_{i-1}A_i\) oldalt, akkor az \(\displaystyle A_{i+1}A_{i+2}\) oldalhoz jutunk, tehát \(\displaystyle f_{i-1}\) tükörképe az \(\displaystyle f_i\) egyenesre éppen \(\displaystyle f_{i+1}\) lesz. Ebből az észrevételből \(\displaystyle i\) szerinti teljes indukcióval adódik, hogy az \(\displaystyle f_i\) és \(\displaystyle f_{i+1}\) egyenesek minden \(\displaystyle 1\le i\le 2n-2\) esetén az \(\displaystyle O\) pontban metszik egymást, vagyis az \(\displaystyle A_i, A_{i+1},A_{i+2}\) pontok az \(\displaystyle O\) ponttól ugyanolyan távolságban helyezkednek el. Ebből pedig ismétcsak indukcióval belátható, hogy az összes csúcs rajta van az \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle OA_1\) sugarú körön.


Statistics:

115 students sent a solution.
3 points:69 students.
2 points:24 students.
1 point:13 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley