KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4405. a and b are non-negative numbers such that a3+b3=2ab. Does that imply a2+b2\le1+ab?

(4 points)

Deadline expired on 10 January 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Belátjuk, hogy a feltételek maguk után vonják a szóban forgó egyenlőtlenséget. Ha \(\displaystyle a+b=0\), akkor \(\displaystyle a=b=0\), és az egyenlőtlenség nyilván fennáll. Feltesszük tehát, hogy \(\displaystyle a+b>0\). Ha \(\displaystyle a,b>1\) lenne, akkor \(\displaystyle a^3+b^3>a^2+b^2\ge 2ab\) miatt a feltétel nem teljesülne. Tehát \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) közül legalább az egyik nem nagyobb 1-nél. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle b\le 1\).

Ha \(\displaystyle a\le 1\) is fennáll, akkor nyilván \(\displaystyle a^3+b^3\le a+b\). Ezt a pozitív \(\displaystyle a+b\) mennyiséggel leosztva kapjuk, hogy \(\displaystyle a^2-ab+b^2\le 1\), ami ekvivalens a bizonyítandó egyenlőtlenséggel. Ha pedig \(\displaystyle a>1\), akkor \(\displaystyle a^3+b^3=2ab\le a^2+b^2\). Ezt felhasználva

\(\displaystyle a(a-1)<a^2(a-1)=a^3-a^2\le b^2-b^3=b^2(1-b)\le b(1-b),\)

ahonnan \(\displaystyle a^2+b^2<a+b\) következik. Tehát ebben az esetben is eljutunk az \(\displaystyle a^3+b^3< a+b\) egyenlőtlenségre, ahonnan most \(\displaystyle a^2+b^2<1+ab\) adódik. A megoldásból az is kiderül, hogy egyenlőség pontosan az \(\displaystyle a=b=1\) esetben áll fenn.


Statistics on problem B. 4405.
102 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Barna István, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jenei Adrienn, Kabos Eszter, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Machó Bónis, Mester Márton, Mihálykó András, Mócsy Miklós, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Solti Bálint, Sticza Gergő, Szabó 789 Barnabás, Szilágyi Krisztina, Tanner Martin, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Tulassay Zsolt, Varga 911 Szabolcs, Varnyú József, Viharos Andor, Weimann Richárd, Wiandt Péter.
3 points:18 students.
2 points:1 student.
0 point:41 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley