Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4405. (December 2011)

B. 4405. a and b are non-negative numbers such that a3+b3=2ab. Does that imply a2+b2\le1+ab?

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Belátjuk, hogy a feltételek maguk után vonják a szóban forgó egyenlőtlenséget. Ha \(\displaystyle a+b=0\), akkor \(\displaystyle a=b=0\), és az egyenlőtlenség nyilván fennáll. Feltesszük tehát, hogy \(\displaystyle a+b>0\). Ha \(\displaystyle a,b>1\) lenne, akkor \(\displaystyle a^3+b^3>a^2+b^2\ge 2ab\) miatt a feltétel nem teljesülne. Tehát \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) közül legalább az egyik nem nagyobb 1-nél. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle b\le 1\).

Ha \(\displaystyle a\le 1\) is fennáll, akkor nyilván \(\displaystyle a^3+b^3\le a+b\). Ezt a pozitív \(\displaystyle a+b\) mennyiséggel leosztva kapjuk, hogy \(\displaystyle a^2-ab+b^2\le 1\), ami ekvivalens a bizonyítandó egyenlőtlenséggel. Ha pedig \(\displaystyle a>1\), akkor \(\displaystyle a^3+b^3=2ab\le a^2+b^2\). Ezt felhasználva

\(\displaystyle a(a-1)<a^2(a-1)=a^3-a^2\le b^2-b^3=b^2(1-b)\le b(1-b),\)

ahonnan \(\displaystyle a^2+b^2<a+b\) következik. Tehát ebben az esetben is eljutunk az \(\displaystyle a^3+b^3< a+b\) egyenlőtlenségre, ahonnan most \(\displaystyle a^2+b^2<1+ab\) adódik. A megoldásból az is kiderül, hogy egyenlőség pontosan az \(\displaystyle a=b=1\) esetben áll fenn.


Statistics:

102 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Barna István, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jenei Adrienn, Kabos Eszter, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Machó Bónis, Mester Márton, Mihálykó András, Mócsy Miklós, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Solti Bálint, Sticza Gergő, Szabó 789 Barnabás, Szilágyi Krisztina, Tanner Martin, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Tulassay Zsolt, Varga 911 Szabolcs, Varnyú József, Viharos Andor, Weimann Richárd, Wiandt Péter.
3 points:18 students.
2 points:1 student.
0 point:41 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011