Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4407. (December 2011)

B. 4407. Let k be a positive integer. How many non-negative solutions does the equation \left[\frac xk\right] = \left[\frac x{k+1}\right] have?

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle x\ge 0\), akkor \(\displaystyle [x/k]\) is nemnegatív egész szám. Tegyük fel tehát, hogy az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle N\) nemnegatív egész számokra

\(\displaystyle \left[\frac xk\right] = \left[\frac x{k+1}\right]=N.\)

Ez pontosan azt jelenti, hogy

\(\displaystyle N\le \frac{x}{k+1}\le\frac{x}{k}<N+1,\)

vagyis hogy \(\displaystyle Nk+N\le x< Nk+k\). Ha \(\displaystyle N\ge k\), akkor nincsen ilyen \(\displaystyle x\) egész szám, a \(\displaystyle 0\le N<k\) esetben pedig pontosan \(\displaystyle k-N\) ilyen \(\displaystyle x\) egész szám van, méghozzá nem is negatív. Ezért az egyenlet nemnegatív egész megoldásainak száma

\(\displaystyle k+(k-1)+\ldots+2+1=\frac{k(k+1)}{2}.\)


Statistics:

104 students sent a solution.
4 points:69 students.
3 points:18 students.
2 points:5 students.
1 point:8 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011