Problem B. 4407. (December 2011)
B. 4407. Let k be a positive integer. How many non-negative solutions does the equation have?
(4 pont)
Deadline expired on January 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha \(\displaystyle x\ge 0\), akkor \(\displaystyle [x/k]\) is nemnegatív egész szám. Tegyük fel tehát, hogy az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle N\) nemnegatív egész számokra
\(\displaystyle \left[\frac xk\right] = \left[\frac x{k+1}\right]=N.\)
Ez pontosan azt jelenti, hogy
\(\displaystyle N\le \frac{x}{k+1}\le\frac{x}{k}<N+1,\)
vagyis hogy \(\displaystyle Nk+N\le x< Nk+k\). Ha \(\displaystyle N\ge k\), akkor nincsen ilyen \(\displaystyle x\) egész szám, a \(\displaystyle 0\le N<k\) esetben pedig pontosan \(\displaystyle k-N\) ilyen \(\displaystyle x\) egész szám van, méghozzá nem is negatív. Ezért az egyenlet nemnegatív egész megoldásainak száma
\(\displaystyle k+(k-1)+\ldots+2+1=\frac{k(k+1)}{2}.\)
Statistics:
104 students sent a solution. 4 points: 69 students. 3 points: 18 students. 2 points: 5 students. 1 point: 8 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011