Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4409. (December 2011)

B. 4409. Assume that n is a positive integer and 2n+1 is a prime. What may be the remainder of this prime when divided by 240?

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle n=2^km\), ahol \(\displaystyle m\) páratlan szám. Ha \(\displaystyle m\ne 1\), akkor \(\displaystyle a+b\mid a^m+b^m\) miatt \(\displaystyle 2^n+1\) osztható a nála kisebb, de 1-nél nagyobb \(\displaystyle 2^{2^k}+1\) számmal, vagyis nem lehet prím. Ezért \(\displaystyle n=2^k\), valamely nemnegatív \(\displaystyle k\) egész számmal. A \(\displaystyle k=0\), \(\displaystyle k=1\) és \(\displaystyle k=2\) esetekben rendre az \(\displaystyle n=3\), \(\displaystyle n=5\), illetve \(\displaystyle n=17\) prímszámokat kapjuk. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle k\ge 2\) esetén a maradék mindig 17 lesz. Valóban, ha \(\displaystyle k\ge 2\) akkor \(\displaystyle n-17=2^{2^k}-16=16\cdot (2^{2^k-4}-1)\). Mivel itt a \(\displaystyle 2^k-4\) kitevő osztató 4-gyel, a \(\displaystyle 2^{2^k-4}-1\) szám osztható a \(\displaystyle 2^4-1=15\) számmal. Ezért \(\displaystyle n-17\) valóban osztható lesz 240-nel.A lehetséges maradékok tehát 3, 5, illetve 17.


Statistics:

119 students sent a solution.
4 points:73 students.
3 points:22 students.
2 points:6 students.
1 point:7 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011