KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4409. (December 2011)

B. 4409. Assume that n is a positive integer and 2n+1 is a prime. What may be the remainder of this prime when divided by 240?

(4 pont)

Deadline expired on 10 January 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle n=2^km\), ahol \(\displaystyle m\) páratlan szám. Ha \(\displaystyle m\ne 1\), akkor \(\displaystyle a+b\mid a^m+b^m\) miatt \(\displaystyle 2^n+1\) osztható a nála kisebb, de 1-nél nagyobb \(\displaystyle 2^{2^k}+1\) számmal, vagyis nem lehet prím. Ezért \(\displaystyle n=2^k\), valamely nemnegatív \(\displaystyle k\) egész számmal. A \(\displaystyle k=0\), \(\displaystyle k=1\) és \(\displaystyle k=2\) esetekben rendre az \(\displaystyle n=3\), \(\displaystyle n=5\), illetve \(\displaystyle n=17\) prímszámokat kapjuk. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle k\ge 2\) esetén a maradék mindig 17 lesz. Valóban, ha \(\displaystyle k\ge 2\) akkor \(\displaystyle n-17=2^{2^k}-16=16\cdot (2^{2^k-4}-1)\). Mivel itt a \(\displaystyle 2^k-4\) kitevő osztató 4-gyel, a \(\displaystyle 2^{2^k-4}-1\) szám osztható a \(\displaystyle 2^4-1=15\) számmal. Ezért \(\displaystyle n-17\) valóban osztható lesz 240-nel.A lehetséges maradékok tehát 3, 5, illetve 17.


Statistics:

119 students sent a solution.
4 points:73 students.
3 points:22 students.
2 points:6 students.
1 point:7 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley