KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4409. Assume that n is a positive integer and 2n+1 is a prime. What may be the remainder of this prime when divided by 240?

(4 points)

Deadline expired on 10 January 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen \(\displaystyle n=2^km\), ahol \(\displaystyle m\) páratlan szám. Ha \(\displaystyle m\ne 1\), akkor \(\displaystyle a+b\mid a^m+b^m\) miatt \(\displaystyle 2^n+1\) osztható a nála kisebb, de 1-nél nagyobb \(\displaystyle 2^{2^k}+1\) számmal, vagyis nem lehet prím. Ezért \(\displaystyle n=2^k\), valamely nemnegatív \(\displaystyle k\) egész számmal. A \(\displaystyle k=0\), \(\displaystyle k=1\) és \(\displaystyle k=2\) esetekben rendre az \(\displaystyle n=3\), \(\displaystyle n=5\), illetve \(\displaystyle n=17\) prímszámokat kapjuk. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle k\ge 2\) esetén a maradék mindig 17 lesz. Valóban, ha \(\displaystyle k\ge 2\) akkor \(\displaystyle n-17=2^{2^k}-16=16\cdot (2^{2^k-4}-1)\). Mivel itt a \(\displaystyle 2^k-4\) kitevő osztató 4-gyel, a \(\displaystyle 2^{2^k-4}-1\) szám osztható a \(\displaystyle 2^4-1=15\) számmal. Ezért \(\displaystyle n-17\) valóban osztható lesz 240-nel.A lehetséges maradékok tehát 3, 5, illetve 17.


Statistics on problem B. 4409.
119 students sent a solution.
4 points:73 students.
3 points:22 students.
2 points:6 students.
1 point:7 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley