Problem B. 4417. (January 2012)
B. 4417. Solve the equation . (3 points)
(3 pont)
Deadline expired on February 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A \(\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) és \(\displaystyle \cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) azonosságok alapján
\(\displaystyle 2\sin^2(x+{45}^\circ)=1-\cos(2x+{90}^\circ)=1+\sin2x=1+2\sin x\cos x.\)
Ezért 2-vel való beszorzás és átrendezés után az eredetivel ekvivalens
\(\displaystyle 2\sin x\cos x-2\sin x-\cos x+1=0\)
egyenletet kapjuk. A bal oldali kifejezést szorzattá alakítva ez
\(\displaystyle (2\sin x-1)(\cos x-1)=0\)
alakba írható, ami pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \sin x=1/2\) vagy \(\displaystyle \cos x =1\). Az egyenlet megoldásai tehát az \(\displaystyle x=\pi/6+2k\pi\), az \(\displaystyle x=5\pi/6+2k\pi\) és az \(\displaystyle x=2k\pi\) számok, ahol \(\displaystyle k\) tetszőleges egész szám.
Statistics:
118 students sent a solution. 3 points: 76 students. 2 points: 34 students. 1 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012