Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4417. (January 2012)

B. 4417. Solve the equation \sin x+\frac 12 \cos x= \sin^2(x+{45}^\circ). (3 points)

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) és \(\displaystyle \cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) azonosságok alapján

\(\displaystyle 2\sin^2(x+{45}^\circ)=1-\cos(2x+{90}^\circ)=1+\sin2x=1+2\sin x\cos x.\)

Ezért 2-vel való beszorzás és átrendezés után az eredetivel ekvivalens

\(\displaystyle 2\sin x\cos x-2\sin x-\cos x+1=0\)

egyenletet kapjuk. A bal oldali kifejezést szorzattá alakítva ez

\(\displaystyle (2\sin x-1)(\cos x-1)=0\)

alakba írható, ami pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \sin x=1/2\) vagy \(\displaystyle \cos x =1\). Az egyenlet megoldásai tehát az \(\displaystyle x=\pi/6+2k\pi\), az \(\displaystyle x=5\pi/6+2k\pi\) és az \(\displaystyle x=2k\pi\) számok, ahol \(\displaystyle k\) tetszőleges egész szám.


Statistics:

118 students sent a solution.
3 points:76 students.
2 points:34 students.
1 point:7 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012