KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4418. (January 2012)

B. 4418. Regular triangles ABD, BCE and CAF are drawn over the sides of triangle ABC on the outside. Let G, H and I denote the midpoints of line segments DE, EF and FD, respectively. Prove that the sum of the angles AHB, BIC and CGA is 180o.

(Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom)

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Irányított szögekkel dolgozva, felírhatjuk, hogy

\(\displaystyle AHB\sphericalangle=ACB\sphericalangle+HAC\sphericalangle-HBC\sphericalangle,\)

\(\displaystyle BIC\sphericalangle=BAC\sphericalangle+IBA\sphericalangle-ICA\sphericalangle,\)

\(\displaystyle CGA\sphericalangle=CBA\sphericalangle+GCB\sphericalangle-GAB\sphericalangle.\)

A három egyenlőséget összeadva, a szokásos jelölésekkel

\(\displaystyle AHB\sphericalangle+BIC\sphericalangle+CGA\sphericalangle=(\alpha+\beta+\gamma)+HAC\sphericalangle+CBH\sphericalangle+\)

\(\displaystyle +IBA\sphericalangle+ACI\sphericalangle+GCB\sphericalangle+BAG\sphericalangle,\)

tehát elég azt igazolnunk, hogy

\(\displaystyle HAC\sphericalangle+CBH\sphericalangle+IBA\sphericalangle+ACI\sphericalangle+GCB\sphericalangle+BAG\sphericalangle=0.\)

Megtartva a szeptemberi B. 4377. feladat megoldásának jelöléseit, a \(\displaystyle BAB'\) háromszöget az \(\displaystyle A\) pont körüli \(\displaystyle 60^\circ\)-os \(\displaystyle \Phi\) forgatás a \(\displaystyle C'AC\) háromszögbe viszi. Ezért mivel \(\displaystyle G\) a \(\displaystyle BB'\), \(\displaystyle H\) pedig a \(\displaystyle CC'\) szakasz felezőpontja,

\(\displaystyle BAG\sphericalangle+HAC\sphericalangle=BAG\sphericalangle+GAB'\sphericalangle=BAB'\sphericalangle=BAC\sphericalangle-B'AC\sphericalangle=\alpha-60^\circ.\)

Ugyanígy \(\displaystyle CBH\sphericalangle+IBA\sphericalangle=\beta-60^\circ\) és \(\displaystyle ACI\sphericalangle+GCB\sphericalangle =\gamma-60^\circ\). E három egyenlőséget összeadva éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.


Statistics:

23 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Kiss 902 Melinda Flóra, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Anna Noémi, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Szabó 777 Bence, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Zsiros Ádám.
4 points:Szabó 928 Attila.
2 points:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley