KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4420. (January 2012)

B. 4420. The lengths of the edges of a cuboid are 7, 14 and 21 units. Which pair of skew face diagonals lying on adjacent faces have the smallest distance?

(Based on a Kavics Kupa problem, 2011)

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) lapátlókat az ábra szerint (ez nem méretarányos, az élek hossza lényegtelen). Az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder \(\displaystyle V'\) térfogata a téglatest \(\displaystyle V\) térfogatának egyhatod része. A tetraéder térfogata nem változik, ha annak \(\displaystyle D\) csúcsát az \(\displaystyle ABC\) lapsíkkal párhuzamosan az \(\displaystyle E\) pontba eltoljuk. Az \(\displaystyle ABCE\) tetraéder térfogatát viszont megkapjuk úgy, ha az \(\displaystyle ABE\) háromszög \(\displaystyle T\) területét megszorozzuk az ehhez tartozó \(\displaystyle m\) magassággal, majd az eredményt elosztjuk 3-mal. Innen a két lapátló távolságára \(\displaystyle m=V/3T\) adódik. Mivel az \(\displaystyle ABE\) háromszöget a téglatest három különböző hosszú lapátlója határolja, vagyis egybevágóság erejéig a téglatest által egyértelmüen meghatározott, a fenti képletben \(\displaystyle V\) és \(\displaystyle T\) értéke is egyértelmüen meg van határozva a téglatest éleinek hossza által. Ennélfogva a szóban forgó távolság a lapátlók választásától függetlenül mindig ugyanakkora.


Statistics:

34 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Bingler Arnold, Böszörményi Borbála, Csigi Máté, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Homonnay Bálint, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Bence Kristóf, Németh Gergely, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szász Dániel Soma, Tossenberger Tamás, Weimann Richárd, Zilahi Tamás.
2 points:1 student.
1 point:4 students.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley