A B. 4420. feladat (2012. január)

B. 4420. Egy téglatest egy csúcsba futó éleinek hossza 7, 14 és 21 egység. Melyik az a két szomszédos lapra illeszkedő kitérő lapátló, amelyek távolsága a lehető legkisebb?

(Kavics Kupa 2011 feladata nyomán)

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) lapátlókat az ábra szerint (ez nem méretarányos, az élek hossza lényegtelen). Az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder \(\displaystyle V'\) térfogata a téglatest \(\displaystyle V\) térfogatának egyhatod része. A tetraéder térfogata nem változik, ha annak \(\displaystyle D\) csúcsát az \(\displaystyle ABC\) lapsíkkal párhuzamosan az \(\displaystyle E\) pontba eltoljuk. Az \(\displaystyle ABCE\) tetraéder térfogatát viszont megkapjuk úgy, ha az \(\displaystyle ABE\) háromszög \(\displaystyle T\) területét megszorozzuk az ehhez tartozó \(\displaystyle m\) magassággal, majd az eredményt elosztjuk 3-mal. Innen a két lapátló távolságára \(\displaystyle m=V/3T\) adódik. Mivel az \(\displaystyle ABE\) háromszöget a téglatest három különböző hosszú lapátlója határolja, vagyis egybevágóság erejéig a téglatest által egyértelmüen meghatározott, a fenti képletben \(\displaystyle V\) és \(\displaystyle T\) értéke is egyértelmüen meg van határozva a téglatest éleinek hossza által. Ennélfogva a szóban forgó távolság a lapátlók választásától függetlenül mindig ugyanakkora.

Statisztika:

34 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Bingler Arnold, Böszörményi Borbála, Csigi Máté, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Homonnay Bálint, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Bence Kristóf, Németh Gergely, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szász Dániel Soma, Tossenberger Tamás, Weimann Richárd, Zilahi Tamás.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai