KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4421. (January 2012)

B. 4421. Let t denote a fixed integer. Show that for every odd prime number p, there exists a positive integer n, such that (3-7t)2n+(18t-9)3n+(6-10t)4n is divisible by p.

(Suggested by K. Kalina, Budapest)

(5 pont)

Deadline expired on 10 February 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle p=3\) esetben nyilván \(\displaystyle n=1\) megfelelő lesz. Ha \(\displaystyle p\ge 5\) akkor a kis Fermat-tétel szerint \(\displaystyle 2^{p-1}, 3^{p-1}\) és \(\displaystyle 4^{p-1}\) is 1 maradékot ad \(\displaystyle p\)-vel osztva, vagyis

\(\displaystyle 2^{p-1}=Ap+1, \quad 3^{p-1}=Bp+1, \quad 4^{p-1}=Cp+1\)

írható alkalmas \(\displaystyle A,B,C\) egész számokkal. Ekkor \(\displaystyle n=p-2\) esetén

\(\displaystyle (3-7t)2^n+(18t-9)3^n+(6-10t)4^n= \frac{3-7t}{2}2^{p-1}+\frac{18t-9}{3}3^{p-1}+\frac{6-10t}{4}4^{p-1}=\)

\(\displaystyle =\frac{3-7t}{2}Ap+\frac{18t-9}{3}Bp+\frac{6-10t}{4}Cp= \frac{\left(6A(3-7t)+4B(18t-9)+3C(6-10t)\right)p}{12}.\)

Ez az egész szám nyilván osztható \(\displaystyle p\)-vel.


Statistics:

15 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Barna István, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy Róbert, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás.
3 points:1 student.
2 points:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley