KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4422. There are 99 sticks lying on a table, their lengths are 1,2,3,...,99 units. Andrea and Bill play the following game: they take turns removing one stick of their choice. Andrea starts the game. The game ends when there are exactly three sticks remaining on the table. If it is possible to make a triangle out of the three sticks then Andrea wins. Otherwise, Bill is the winner. Who has a winning strategy?

(5 points)

Deadline expired on 12 March 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A játéknak a 96. lépés után lesz vége, vagyis azután, hogy mindketten elvettek 48 darab pálcát. Osszuk képzeletben a pálcákat két kupacba. A `rövid' kupacban legyenek az \(\displaystyle 1,2,3,\ldots,50\) egység hosszú pálcák, a `hosszú' kupacban pedig a maradék 49 pálca. Béla a következő stratégiával tudja megnyerni a játékot. Ha valamelyik lépésben Andrea a rövid kupacból vesz el egy pálcát, akkor az ezt követő lépésében Béla elveszi a hosszú kupacból az abban éppen található pálcák közül a legrövidebbet. Ha pedig valamelyik lépésben Andrea a hosszú kupacból vesz el egy pálcát, akkor az ezt követő lépésében Béla elveszi a rövid kupacból az abban éppen található pálcák közül a leghosszabbat. Így Andrea minden lépése után Béla tud még lépni a stratégiának megfelelően. A játék végén a rövid kupacban 2 darab, míg a hosszúban 1 darab pálca marad; ezek hossza legyen \(\displaystyle a<b\le 50<c\). A stratégiának köszönhetően az elvett pálcák hossza között található legalább 48 olyan egymást követő egész szám, melyek közül mindegyik nagyobb \(\displaystyle b\)-nél, de kisebb \(\displaystyle c\)-nél. Ezért \(\displaystyle c-b\ge 49\ge a\), vagyis \(\displaystyle c\ge a+b\), tehát a megmaradó pálcákból nem állítható össze háromszög.


Statistics on problem B. 4422.
81 students sent a solution.
5 points:54 students.
4 points:5 students.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
0 point:19 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley