KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4422. (February 2012)

B. 4422. There are 99 sticks lying on a table, their lengths are 1,2,3,...,99 units. Andrea and Bill play the following game: they take turns removing one stick of their choice. Andrea starts the game. The game ends when there are exactly three sticks remaining on the table. If it is possible to make a triangle out of the three sticks then Andrea wins. Otherwise, Bill is the winner. Who has a winning strategy?

(5 pont)

Deadline expired on March 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A játéknak a 96. lépés után lesz vége, vagyis azután, hogy mindketten elvettek 48 darab pálcát. Osszuk képzeletben a pálcákat két kupacba. A `rövid' kupacban legyenek az \(\displaystyle 1,2,3,\ldots,50\) egység hosszú pálcák, a `hosszú' kupacban pedig a maradék 49 pálca. Béla a következő stratégiával tudja megnyerni a játékot. Ha valamelyik lépésben Andrea a rövid kupacból vesz el egy pálcát, akkor az ezt követő lépésében Béla elveszi a hosszú kupacból az abban éppen található pálcák közül a legrövidebbet. Ha pedig valamelyik lépésben Andrea a hosszú kupacból vesz el egy pálcát, akkor az ezt követő lépésében Béla elveszi a rövid kupacból az abban éppen található pálcák közül a leghosszabbat. Így Andrea minden lépése után Béla tud még lépni a stratégiának megfelelően. A játék végén a rövid kupacban 2 darab, míg a hosszúban 1 darab pálca marad; ezek hossza legyen \(\displaystyle a<b\le 50<c\). A stratégiának köszönhetően az elvett pálcák hossza között található legalább 48 olyan egymást követő egész szám, melyek közül mindegyik nagyobb \(\displaystyle b\)-nél, de kisebb \(\displaystyle c\)-nél. Ezért \(\displaystyle c-b\ge 49\ge a\), vagyis \(\displaystyle c\ge a+b\), tehát a megmaradó pálcákból nem állítható össze háromszög.


Statistics:

81 students sent a solution.
5 points:54 students.
4 points:5 students.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
0 point:19 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley