Problem B. 4423. (February 2012)
B. 4423. Given the lines of the medians of a triangle and one point lying on a side, construct the triangle.
Suggested by J. Pataki, Budapest
(4 pont)
Deadline expired on March 12, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A három egyenesnek - jelölje ezeket \(\displaystyle a,b,c\) -, páronként különbözőnek kell lennie, és egy \(\displaystyle S\) pontban (a leendő súlypontban) kell egymást metszeniük. Ez a metszéspont pedig nem eshet egybe az adott ponttal. A továbbiakban feltesszük ezen feltételek teljesülését. Szerkesszünk először egy olyan \(\displaystyle A'B'C'\) háromszöget, amelynek az adott egyenesek a súlyvonalai lesznek úgy, hogy az \(\displaystyle X'\) pont az \(\displaystyle x\) egyenesre esik. Vegyünk fel az \(\displaystyle a\) egyenesen egy \(\displaystyle S\)-től különböző \(\displaystyle A'\) pontot. Ha ez egy megfelelő háromszög egyik csúcsa, akkor az ezzel szemközti oldal \(\displaystyle F'\) felezőpontját úgy kell megkapjuk, hogy az \(\displaystyle A'S\) szakasz felezőpontját \(\displaystyle S\)-re tükrözzük, hiszen a súlyvonalak egymást a csúcsoktól számítva \(\displaystyle 2:1\) arányban osztják. Mivel a másik két csúcs \(\displaystyle F'\)-re szimmetrikusan helyezkedik el, a \(\displaystyle B'\) csúcsot úgy kell megkapnunk, hogy a \(\displaystyle b\) egyenest elmetsszük a \(\displaystyle c\) egyenesnek \(\displaystyle F'\)-re vonatkozó tükörképével, \(\displaystyle C'\)-t pedig úgy, hogy az így kapott \(\displaystyle B'\) pontot \(\displaystyle F'\)-re tükrözzük.
Így valóban egy olyan háromszöghöz jutunk, amelynek az adott egyenesek súlyvonalai, és minden ilyen tulajdonságú háromszög megkapható ilyen módon. Azt is könnyű látni, hogy az eljárással kapott bármely két háromszög egymáshoz hasonló lesz. Ennélfogva a feladat megoldásához a szerkesztett háromszöget úgy kell nagyítani az \(\displaystyle S\) pontból, hogy az adott \(\displaystyle P\) pont valamelyik oldalára kerüljön. Ezt úgy tehetjük meg, hogy \(\displaystyle P\)-n át az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög valamelyik oldalával párhuzamos egyenest húzunk, amit háromféleképpen tehetünk meg. Ha \(\displaystyle P\) valamelyik egyenesre, mondjuk az \(\displaystyle a\)-ra esik, akkor a három lehetőség közül kettő (az \(\displaystyle A'B'\)-vel és az \(\displaystyle A'C'\)-vel húzott párhuzamos) ugyanahhoz az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz vezet, nevezetesen ahhoz, amelyiknek \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle A\) csúcsával esik egybe, a harmadik pedig egy másik háromszöghöz, amelyben \(\displaystyle P\) éppen a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontja lesz. Az általános esetben \(\displaystyle P\) a három egyenes által meghatározott 6 szögtartomány valamelyikének belsejébe esik, mondjuk egy olyanéba, melyet a \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) egyenesek határolnak. Ekkor is két megoldása van a feladatnak: vagy az \(\displaystyle A'B'\) oldallal húzott párhuzamos metszi ki a \(\displaystyle b\) egyenesből a \(\displaystyle B\) csúcsot, vagy pedig az \(\displaystyle A'C'\) oldallal húzott párhuzamos metszi ki a \(\displaystyle c\) egyenesből a \(\displaystyle C\) csúcsot.
Statistics:
110 students sent a solution. 4 points: Ágoston Péter, Babik Bálint, Barna István, Berezvai Orsolya, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Emri Tamás, Énekes Tamás, Englert Franciska, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Jenei Adrienn, Kalló Kristóf, Kaprinai Balázs, Kecskés Boglárka, Khayounti Sára, Kisfaludi Márton, Kiss 902 Melinda Flóra, Leitereg Miklós, Lévai Botond Miklós, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy Anna Noémi, Nagy-György Pál, Nemes György, Novák László, Papp Roland, Radó Hanna, Schultz Vera Magdolna, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szekeres Ágnes, Tőri Tünde, Weimann Richárd, Zsakó András. 3 points: 47 students. 2 points: 9 students. 1 point: 6 students. 0 point: 6 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2012