KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4424. (February 2012)

B. 4424. Velo City Transportation Company are planning to operate a bus service along a ``uniformly populated'' straight road of length \ell. How should the n bus stops be positioned along the road, so that the customers need to walk as little as possible?

(4 pont)

Deadline expired on 12 March 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az út két végpontját jelölje \(\displaystyle A_0\) és \(\displaystyle A_{n+1}\), a megállók helyét \(\displaystyle A_1,\ldots,A_n\) úgy, hogy az \(\displaystyle A_0,A_1,\ldots,A_{n+1}\) pontok ebben a sorrendben kövessék egymást, \(\displaystyle 1\le i<n\) esetén pedig az \(\displaystyle A_iA_{i+1}\) szakasz felezőpontját jelölje \(\displaystyle F_i\). Az \(\displaystyle A_0A_1\) útszakaszon lakók az \(\displaystyle A_1\), az \(\displaystyle A_nA_{n+1}\) útszakaszon lakók az \(\displaystyle A_n\), az \(\displaystyle A_iF_i\) útszakaszon lakók az \(\displaystyle A_i\), az \(\displaystyle F_iA_{i+1}\) útszakszon lakók pedig az \(\displaystyle A_{i+1}\) pontban lévő megállóhoz fognak gyalogolni. Hogy a feladatot értelmezni tudjuk, azzal a feltevéssel élünk, hogy \(\displaystyle x\) hosszú útszakaszon mindig \(\displaystyle \alpha x\) lakos lakik, függetlenül attól, hogy ez egész szám, vagy sem; ez azt is jelenti, hogy adott útszakaszról adott megállóba átlagosan ugyanannyit gyalogolnak az ott lakók. Azt is fel kell tennünk persze, hogy a lakók ugyanannyiszor szállnak buszra.

Az \(\displaystyle A_0A_1\) szakasz hossza legyen \(\displaystyle x_0\), az \(\displaystyle A_nA_{n+1}\) szakaszé \(\displaystyle x_{n}\), \(\displaystyle 1\le i< n\) esetén pedig az \(\displaystyle A_iA_{i+1}\) szakasz hossza legyen \(\displaystyle 2x_i\). Ezek szerint \(\displaystyle x_0+2x_1+\ldots+2x_{n-1}+x_n=\ell\). Ekkor feltételezésünk szerint a lakók alkalmanként összesen

\(\displaystyle S=(\alpha x_0)\cdot\frac{x_0}{2}+(2\alpha x_1)\cdot\frac{x_1}{2}+\ldots+(2\alpha x_{n-1})\cdot\frac{x_{n-1}}{2}+(\alpha x_n)\cdot\frac{x_n}{2}\)

utat gyalogolnak. A számtani és négyzetes közepek közötti összefüggés szerint

\(\displaystyle S=(n\alpha)\cdot\frac{x_0^2+x_1^2+x_1^2+\ldots+x_{n-1}^2+x_{n-1}^2+x_n^2}{2n} \ge\)

\(\displaystyle \ge (n\alpha)\cdot \left(\frac{x_0+x_1+x_1+\ldots+x_{n-1}+x_{n-1}+x_n}{2n}\right)^2 =\frac{\alpha\ell^2}{4n},\)

ahol egyenlőség pontosan az \(\displaystyle x_0=x_1=\ldots=x_n=\ell/2n\) esetben áll fenn. Ez azt jelenti, hogy a megállókat egyenletes közökben kell elhelyezni úgy, hogy az első, illetve utolsó megálló az út megfelelő végétől pontosan fél megállóköz távolságra legyen.


Statistics:

87 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Barna István, Cserna Balázs, Czipó Bence, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kulcsár Ildikó, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Solti Bálint, Szabó 262 Lóránt, Szabó 777 Bence, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás.
3 points:Babik Bálint, Badacsonyi István András, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Géczi Péter Attila, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Leitereg András, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Pálfi Dóra, Papp Roland, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Weimann Richárd.
2 points:2 students.
1 point:6 students.
0 point:34 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley