Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4427. (February 2012)

B. 4427. Show that if \alpha, \beta and \gamma are the angles of a triangle then (sin \alpha+sin \beta+sin \gamma)2>9sin \alphasin \betasin \gamma.

(3 pont)

Deadline expired on March 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle \sin\alpha, \sin\beta, \sin\gamma\) 1-nél nem nagyobb pozitív számok, és nem lehet mindegyikük 1-gyel egyenlő,

\(\displaystyle 0<\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma<1.\)

A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség szerint

\(\displaystyle \frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3}\ge \root{3}\of{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma},\)

ahonnan

\(\displaystyle \frac{(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma)^2}{9}\ge (\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma)^{2/3}> \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.\)


Statistics:

110 students sent a solution.
3 points:73 students.
2 points:26 students.
1 point:3 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2012