Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4427. (February 2012)

B. 4427. Show that if \alpha, \beta and \gamma are the angles of a triangle then (sin \alpha+sin \beta+sin \gamma)2>9sin \alphasin \betasin \gamma.

(3 pont)

Deadline expired on March 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle \sin\alpha, \sin\beta, \sin\gamma\) 1-nél nem nagyobb pozitív számok, és nem lehet mindegyikük 1-gyel egyenlő,

\(\displaystyle 0<\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma<1.\)

A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség szerint

\(\displaystyle \frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3}\ge \root{3}\of{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma},\)

ahonnan

\(\displaystyle \frac{(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma)^2}{9}\ge (\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma)^{2/3}> \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.\)


Statistics:

110 students sent a solution.
3 points:73 students.
2 points:26 students.
1 point:3 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2012