KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4427. (February 2012)

B. 4427. Show that if \alpha, \beta and \gamma are the angles of a triangle then (sin \alpha+sin \beta+sin \gamma)2>9sin \alphasin \betasin \gamma.

(3 pont)

Deadline expired on 12 March 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle \sin\alpha, \sin\beta, \sin\gamma\) 1-nél nem nagyobb pozitív számok, és nem lehet mindegyikük 1-gyel egyenlő,

\(\displaystyle 0<\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma<1.\)

A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség szerint

\(\displaystyle \frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3}\ge \root{3}\of{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma},\)

ahonnan

\(\displaystyle \frac{(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma)^2}{9}\ge (\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma)^{2/3}> \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.\)


Statistics:

110 students sent a solution.
3 points:73 students.
2 points:26 students.
1 point:3 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley