KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4428. (February 2012)

B. 4428. A triangle is inscribed in a unit circle. What may be the distance between the centres of two escribed circles of the triangle?

(4 pont)

Deadline expired on 12 March 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A háromszög csúcsait jelölje \(\displaystyle A,B,C\), a hozzáírt körök középpontjait értelemszerűen \(\displaystyle O_a,O_b,O_c\). Mivel az \(\displaystyle O_cC\) és \(\displaystyle O_aO_b\) egyenesek közül az első a \(\displaystyle C\) csúcshoz tartozó belső, a második pedig a külső szögfelező, ezek merőlegesek egymásra. Így \(\displaystyle ABC\) az \(\displaystyle O_aO_bO_c\) háromszög talpponti háromszöge, vagyis az első háromszög köré írható kör a második háromszög Feuerbach-köre. Az \(\displaystyle O_aO_bO_c\) kör sugara tehát \(\displaystyle R=2\).

Mivel \(\displaystyle ABO_c\sphericalangle=90^\circ-\beta/2\) és \(\displaystyle BAO_c\sphericalangle=90^\circ-\alpha/2\), az \(\displaystyle O_aO_cO_b\) szög nagysága \(\displaystyle 90^\circ-\gamma/2\). Ezért a szinusz-tétel szerint

\(\displaystyle O_aO_b=2R\sin\left(90^\circ-\frac{\gamma}{2}\right)=4\cos\frac{\gamma}{2},\)

vagyis \(\displaystyle 0<O_aO_b<4\), és a szakasz hossza tetszőleges 0 és 4 közötti értéket felvehet.


Statistics:

50 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Barna István, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Gyarmati Máté, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Katona Dániel, Kovács-Deák Máté, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Makk László, Mester Márton, Ódor Gergely, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás.
3 points:Demeter Dániel, Fatér Alexa, Fonyó Viktória, Géczi Péter Attila, Kiss 902 Melinda Flóra, Medek Ákos, Nagy-György Pál, Öreg Botond, Sticza Gergő, Tulassay Zsolt, Varga Zoltán Attila, Zahemszky Péter.
2 points:11 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley