KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4429. (February 2012)

B. 4429. A1B1C1 and A2B2C2 are two triangles such that their sides A1B1 and A2B2, B1C1 and B2C2, as well as A1C1 and A2C2 are parallel. Vertex A1 is connected to vertices B2 and C2, vertex B1 is connected to C2 and A2, and vertex C1 is connected to A2 and B2. Given that the areas of the original triangles are T1 and T2, what may be the area of the hexagon formed by the midpoints of the connecting line segments obtained in this way?

(4 pont)

Deadline expired on 12 March 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A két háromszög egymáshoz hasonló, a hasonlóság aránya pedig \(\displaystyle \lambda=\sqrt{T_2/T_1}\) vagy \(\displaystyle \lambda=-\sqrt{T_2/T_1}\). Ha az egyik háromszöget a \(\displaystyle {\bf v}\) vektorral eltoljuk, akkor minden felezőpont, és így az általuk meghatározott síkidom is \(\displaystyle {\bf v}/2\)-vel mozdul el. Feltehetjük hát, hogy \(\displaystyle A_1=A_2=A\). Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy \(\displaystyle T_1\ge T_2\), vagyis \(\displaystyle 0<|\lambda|\le 1\). Ha \(\displaystyle T_1=T_2\), akkor a \(\displaystyle \lambda=1\) esetben a hatszög ugyan háromszöggé fajul el, de a lejjebb bizonyított képlet abban az esetben is érvényes lesz.

A lenti ábrán előbb a \(\displaystyle \lambda>0\), majd a \(\displaystyle \lambda<0\) esetet tüntettük fel, a szóban forgó hatszög csúcsait mindkét esetben \(\displaystyle F,G,H,I,J,K\) jelöli. A \(\displaystyle \lambda>0\) esetben vegyük fel a \(\displaystyle B_1C_1\) szakasz \(\displaystyle L\) felezőpontját is. Ekkor az \(\displaystyle I,J\) csúcsok az \(\displaystyle AHLK\) paralalelogramma \(\displaystyle HL\), illetve \(\displaystyle KL\) oldalán helyezkednek el.

A kicsit egyszerűbb \(\displaystyle \lambda<0\) esettel kezdve, az \(\displaystyle AFG\) háromszög területe \(\displaystyle T_1/4\), az \(\displaystyle AIJ\) háromszögé pedig \(\displaystyle T_2/4\). Az \(\displaystyle AB_1C_2\) és \(\displaystyle AB_2C_1\) háromszögek területe \(\displaystyle -\lambda T_1=\sqrt{T_1T_2}\), így az \(\displaystyle AGHI\) és \(\displaystyle AFKJ\) paralelelogrammák területe egyaránt \(\displaystyle \sqrt{T_1T_2}/2\). Az \(\displaystyle FGHIJK\) hatszög \(\displaystyle T\) területe e négy alakzat területének összege, vagyis

\(\displaystyle T=\frac{T_1}{4}+\frac{T_2}{4}+\sqrt{T_1T_2}.\)

A \(\displaystyle \lambda>0\) esetben a hatszög területét úgy kapjuk, hogy az \(\displaystyle AHLK\) paralelogramma \(\displaystyle T_1/2\) területéből levonjuk az \(\displaystyle AFG\) háromszög \(\displaystyle T_2/4\) területét és az \(\displaystyle IJL\) háromszög területét. Minthogy \(\displaystyle IJ\) párhuzamos a \(\displaystyle B_1C_1\) és így a \(\displaystyle HK\) szakaszokkal is, valamint \(\displaystyle IL:HL=C_2C_1:AC_1=1-\lambda\), az utóbbi háromszög területe a \(\displaystyle HLK\) háromszög területének \(\displaystyle (1-\lambda)^2\)-szerese. Ezért ebben az esetben

\(\displaystyle T=\frac{T_1}{2}-\frac{T_2}{4}-(1-\lambda)^2\cdot\frac{T_1}{4}= \frac{T_1}{2}-\frac{T_2}{4}-\frac{T_1}{4}+2\lambda\cdot\frac{T_1}{4} -\lambda^2\cdot\frac{T_1}{4}=\)

\(\displaystyle =\frac{T_1}{2}-\frac{T_2}{4}-\frac{T_1}{4}+\frac{\sqrt{T_1T_2}}{2}- \frac{T_2}{4}=\frac{T_1}{4}-\frac{T_2}{2}+\frac{\sqrt{T_1T_2}}{2}.\)


Statistics:

24 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Herczeg József, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás.
3 points:Barna István, Havasi 0 Márton, Katona Dániel, Kovács-Deák Máté, Medek Ákos, Mócsy Miklós, Németh 241 Ilona, Stein Ármin, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Thamó Emese, Tulassay Zsolt, Zahemszky Péter.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley