KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4434. (March 2012)

B. 4434. Prove that every natural number not divisible by 10 can be multiplied by an appropriate natural number, such that the product is a palindromic number in decimal notation.

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a szóban forgó számot \(\displaystyle n\); ekkor \(\displaystyle n=uv\), ahol \(\displaystyle u,v\) pozitív egészek és \(\displaystyle u=2^k\) vagy \(\displaystyle u=5^k\), \(\displaystyle v\) pedig 10-hez relatív prím szám. Jelölje \(\displaystyle \overline{u}\) az \(\displaystyle u\) számjegyeinek fordított sorrendben való felírásával kapott számot. Ekkor \(\displaystyle u,\overline{u}<10^k\), és mivel \(\displaystyle u\) nem 0-ra végződik, az \(\displaystyle U=10^k\overline{u}+u<10^{2k}\) szám \(\displaystyle u\)-val osztható palindrom szám.

Minthogy 10 relatív prím \(\displaystyle v\)-hez, az Euler-Fermat tétel szerint a \(\displaystyle 10^{\varphi(v)}\) szám \(\displaystyle v\)-vel osztva 1 maradékot ad, vagyis \(\displaystyle 10^{\varphi(v)}\equiv 1\pmod {v}\). Itt a kitevőbe \(\displaystyle \varphi(v)\) helyett annak tetszőleges többszörösét is beírhatjuk.

Legyen \(\displaystyle m\ge 2k\) tetszőleges \(\displaystyle \varphi(v)\)-vel osztható szám. Ekkor az előzőek miatt

\(\displaystyle V=1+10^m+10^{2m}+\ldots+10^{(v-1)m}\equiv v\cdot 1\equiv 0\pmod{v},\)

vagyis a \(\displaystyle V\) szám osztható \(\displaystyle v\)-vel. Ennélfogva az \(\displaystyle N=UV\) szám, amely nyilván palindrom szám, osztható \(\displaystyle uv\)-vel, vagyis \(\displaystyle n\)-nel.


Statistics:

50 students sent a solution.
4 points:Ács Botond, Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bingler Arnold, Bíró János, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Géczi Péter Attila, Göde Ábel, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Kaprinai Balázs, Khayounti Sára, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács Lilla Veronika, Kovács-Deák Máté, Maga Balázs, Matolcsi István, Mester Márton, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Ódor Gergely, Papp Roland, Pohl Péter Mátyás, Prágai Benedek, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
3 points:Homonnay Bálint, Kacz Dániel, Nagy Bence Kristóf, Sagmeister Ádám.
2 points:4 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley