KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4435. (March 2012)

B. 4435. T is the foot of the altitude drawn from vertex A of an acute-angled triangle ABC. The midpoint of side BC is F. The centres of the squares drawn over the sides AB and AC on the outside are K and L, respectively. Prove that KTFL is a cyclic quadrilateral.

(Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom)

(4 pont)

Deadline expired on 10 April 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Kicsit pontosabban azt igazoljuk, hogy a \(\displaystyle K\), \(\displaystyle T\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle L\) pontok egy körön vannak. Ha \(\displaystyle AB=AC\), akkor \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle T\) egybeesik, az állítás pedig nyilvánvaló. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle AB<AC\), azzal a megjegyzéssel, hogy az \(\displaystyle AC>AB\) esetben a \(\displaystyle KFTL\) négyszög lesz húrnégyszög.

Mivel az \(\displaystyle AKB\) és az \(\displaystyle ATB\) szög is derékszög, az \(\displaystyle AKBT\) négyszög húrnégyszög, és így \(\displaystyle ATK\angle=ABK\angle=45^\circ\). Hasonlóképpen kapjuk, hogy \(\displaystyle ATL\angle=ACL\angle=45^\circ\), vagyis \(\displaystyle KTL\angle=ATK\angle+ATL\angle=90^\circ\). Már csak azt kell megmutatni, hogy a \(\displaystyle KFL\) szög is derékszög.

Az \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle AC\) oldal felezőpontját jelölje rendre \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle EF\) szakasz az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos középvonala, hossza megegyezik a \(\displaystyle DK\) szakaszéval, amely viszont \(\displaystyle AB\)-re merőleges. Hasonlóképpen \(\displaystyle DF\) és \(\displaystyle EL\) is egymásra merőleges egyenlő hosszúságú szakaszok. Ezenfelül

\(\displaystyle KDF\angle=KDB\angle+BDF\angle=90^\circ+BAC\angle=CEL\angle+FEC\angle=FEL\angle.\)

Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle KDF\) és \(\displaystyle FEL\) olyan egybevágó háromszögek, melyekben az egymásnak megfelelő oldalak egymásra merőlegesek. Következésképpen az \(\displaystyle FL\) szakasz is merőleges a \(\displaystyle KF\) szakaszra.


Statistics:

70 students sent a solution.
4 points:62 students.
3 points:4 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley