KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4438. (March 2012)

B. 4438. The angle bisectors of a triangle ABC intersect the opposite sides at the points A1, B1 and C1, respectively. For what triangles is it true that \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1}+ \overrightarrow{CC_1} =\mathbf{0}?

(Matlap, Cluj-Napoca -- Kolozsvár)

(3 pont)

Deadline expired on 10 April 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A háromszög oldalait értelmszerűen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\)-vel jelölve, a szögfelező-tétel szerint

\(\displaystyle \overrightarrow{AA_1}=\frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{b+c}, \overrightarrow{BB_1}=\frac{a\overrightarrow{BA}+c\overrightarrow{BC}}{a+c}, \overrightarrow{CC_1}=\frac{a\overrightarrow{CA}+b\overrightarrow{CB}}{a+b}.\)

Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\), \(\displaystyle \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\), a feltétel átírható a

\(\displaystyle \left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}-\frac{a}{a+c}-\frac{a}{a+b}\right)\overrightarrow{AB}+ \left(\frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c}-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{a+b}\right)\overrightarrow{BC} =\mathbf{0}\)

alakba. Mivel az \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) vektorok nem párhuzamosak, ez pontosan akkor teljesül, ha mindkét vektor együtthatója 0, vagyis ha

\(\displaystyle \frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+b}=\frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c}=1.\)

Kis átalakítással ez ekvivalens az \(\displaystyle a^2=bc\), \(\displaystyle c^2=ab\) feltételrendszerrel. Ebből \(\displaystyle a^3=abc=c^3\), vagyis \(\displaystyle a=c\) következik, ahonnan már \(\displaystyle a=b=c\) is leolvasható. Megfordítva, ha \(\displaystyle a=b=c\), akkor a feltételek nyilván teljesülnek. Ez azt jelenti, hogy a feladatban megadott feltételt pontosan a szabályos háromszögek elégítik ki.


Statistics:

68 students sent a solution.
3 points:Babik Bálint, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Englert Franciska, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Géczi Péter Attila, Gyarmati Máté, Homonnay Bálint, Horváth János, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jenei Adrienn, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Márton Boldizsár, Medek Ákos, Mihálykó András, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Nemes György, Öreg Botond, Papp Roland, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Stein Ármin, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Thamó Emese, Tóth Balázs, Varga 911 Szabolcs, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
2 points:6 students.
1 point:5 students.
0 point:11 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley