Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4438. (March 2012)

B. 4438. The angle bisectors of a triangle ABC intersect the opposite sides at the points A1, B1 and C1, respectively. For what triangles is it true that \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1}+ \overrightarrow{CC_1} =\mathbf{0}?

(Matlap, Cluj-Napoca -- Kolozsvár)

(3 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A háromszög oldalait értelmszerűen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\)-vel jelölve, a szögfelező-tétel szerint

\(\displaystyle \overrightarrow{AA_1}=\frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{b+c}, \overrightarrow{BB_1}=\frac{a\overrightarrow{BA}+c\overrightarrow{BC}}{a+c}, \overrightarrow{CC_1}=\frac{a\overrightarrow{CA}+b\overrightarrow{CB}}{a+b}.\)

Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\), \(\displaystyle \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\), a feltétel átírható a

\(\displaystyle \left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}-\frac{a}{a+c}-\frac{a}{a+b}\right)\overrightarrow{AB}+ \left(\frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c}-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{a+b}\right)\overrightarrow{BC} =\mathbf{0}\)

alakba. Mivel az \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) vektorok nem párhuzamosak, ez pontosan akkor teljesül, ha mindkét vektor együtthatója 0, vagyis ha

\(\displaystyle \frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+b}=\frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c}=1.\)

Kis átalakítással ez ekvivalens az \(\displaystyle a^2=bc\), \(\displaystyle c^2=ab\) feltételrendszerrel. Ebből \(\displaystyle a^3=abc=c^3\), vagyis \(\displaystyle a=c\) következik, ahonnan már \(\displaystyle a=b=c\) is leolvasható. Megfordítva, ha \(\displaystyle a=b=c\), akkor a feltételek nyilván teljesülnek. Ez azt jelenti, hogy a feladatban megadott feltételt pontosan a szabályos háromszögek elégítik ki.


Statistics:

68 students sent a solution.
3 points:Babik Bálint, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Englert Franciska, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Géczi Péter Attila, Gyarmati Máté, Homonnay Bálint, Horváth János, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jenei Adrienn, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Márton Boldizsár, Medek Ákos, Mihálykó András, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Nemes György, Öreg Botond, Papp Roland, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Stein Ármin, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Thamó Emese, Tóth Balázs, Varga 911 Szabolcs, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
2 points:6 students.
1 point:5 students.
0 point:11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012