KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4439. Given two different points B and C in the plane, determine the locus of those points A for which the altitude drawn from vertex A of the triangle ABC is the geometric mean of the line segments  BC+AC and BC-AC.

(3 points)

Deadline expired on 10 April 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert, melynek középpontja \(\displaystyle C\), a \(\displaystyle B\) pont koordinátái pedig \(\displaystyle (1;0)\). Ha az \(\displaystyle A\) pont koordinátái \(\displaystyle (x;y)\), ahol \(\displaystyle y\ne 0\), akkor az \(\displaystyle A\)-hoz tartozó magasság \(\displaystyle M\) talppontja az \(\displaystyle (x;0)\) pont. Ekkor \(\displaystyle BC=1\), \(\displaystyle AM=y\) és \(\displaystyle AC^2=x^2+y^2\), vagyis az \(\displaystyle AM^2=(BC+AC)(BC-AC)\) feltétel ekvivalens az \(\displaystyle y^2+(x^2+y^2)=1\) feltétellel. Ezek szerint a mértani hely egyenlete \(\displaystyle x^2+2y^2=1\) (\(\displaystyle y\ne 0\)), vagyis a \(\displaystyle B\) pontnak a \(\displaystyle C\)-re vett tükörképét \(\displaystyle B'\)-vel jelölve, a mértani hely az a nagytengelye végpontjaitól megfosztott ellipszis, melynek nagytengelye a \(\displaystyle BB'\) szakasz, kistengelyének hossza pedig a nagytengely hosszának \(\displaystyle 1/\sqrt{2}\) része.


Statistics on problem B. 4439.
62 students sent a solution.
3 points:Ágoston Péter, Babik Bálint, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Győrfi 946 Mónika, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács-Deák Máté, Maga Balázs, Makk László, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy-György Pál, Onódi Péter, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Somogyvári Kristóf, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tóth Balázs, Varga 911 Szabolcs, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Wiandt Zsófia, Zahemszky Péter, Zsiros Ádám.
2 points:Géczi Péter Attila, Lezsák Gábor, Papp Roland.
1 point:10 students.
0 point:12 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley