KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4441. The areas of the faces of a tetrahedron are a, b, c, d. The angle enclosed by the faces of areas a and b is \gamma, the angle of  b and c is \alpha, and the angle of c and a is \beta. Prove that d2=a2+b2+c2-2ab.cos \gamma-2bc.cos \alpha-2ca.cos \beta.

(5 points)

Deadline expired on 10 April 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Minden laphoz vegyünk fel egy rá merőleges kifelé mutató vektort úgy, hogy az \(\displaystyle u\) területű lapra merőleges \(\displaystyle \mathbf{u}\) vektor hossza \(\displaystyle |\mathbf{u}|=u\) legyen. Ekkor \(\displaystyle \mathbf{d}=-\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c}\). Valóban, a \(\displaystyle d\) területű lappal szemközti csúcsból a másik három csúcsba mutató vektort jelölje \(\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}\) oly módon, hogy a három vektor ebben a sorrendben jobbrendszert alkosson. Ekkor

\(\displaystyle 2\mathbf{a}+2\mathbf{b}+2\mathbf{c}=\mathbf{x}\times \mathbf{y}+ \mathbf{y}\times \mathbf{z}+\mathbf{z}\times \mathbf{x}.\)

Ugyanakkor az \(\displaystyle \mathbf{u}\times \mathbf{u}=\mathbf{0}\) és az \(\displaystyle \mathbf{u}\times \mathbf{v}=-\mathbf{v}\times \mathbf{u}\) azonosságok miatt

\(\displaystyle 2\mathbf{d}=(\mathbf{z}- \mathbf{x})\times(\mathbf{y}- \mathbf{x})= -\mathbf{x}\times \mathbf{y}- \mathbf{y}\times \mathbf{z}-\mathbf{z}\times \mathbf{x}.\)

Mivel az \(\displaystyle \mathbf{a}\) és \(\displaystyle \mathbf{b}\) vektorok hajlásszöge \(\displaystyle 180^\circ-\gamma\), a \(\displaystyle \mathbf{b}\) és \(\displaystyle \mathbf{c}\) vektoroké \(\displaystyle 180^\circ-\alpha\), a \(\displaystyle \mathbf{c}\) és \(\displaystyle \mathbf{a}\) vektoroké pedig \(\displaystyle 180^\circ-\alpha\), a vektorok skaláris szorzatának tulajdonságai alapján

\(\displaystyle d^2=\mathbf{d}^2=(-\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c})^2= \mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2+ \mathbf{c}^2+2\mathbf{a}\mathbf{b}+ 2\mathbf{a}\mathbf{c}+2\mathbf{b}\mathbf{c}=\)

\(\displaystyle =a^2+b^2+c^2+2ab\cdot\cos(180^\circ-\gamma)+ 2ac\cdot\cos(180^\circ-\beta)+2bc\cdot\cos(180^\circ-\alpha)=\)

\(\displaystyle =a^2+b^2+c^2- 2ab\cdot \cos\gamma- 2bc\cdot \cos\alpha- 2ca\cdot \cos\beta.\)


Statistics on problem B. 4441.
20 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kecskés Boglárka, Kovács-Deák Máté, Machó Bónis, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Róbert, Ódor Gergely, Szabó 777 Bence, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weimann Richárd.
4 points:Strenner Péter.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley