Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4441. (March 2012)

B. 4441. The areas of the faces of a tetrahedron are a, b, c, d. The angle enclosed by the faces of areas a and b is \gamma, the angle of  b and c is \alpha, and the angle of c and a is \beta. Prove that d2=a2+b2+c2-2ab.cos \gamma-2bc.cos \alpha-2ca.cos \beta.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Minden laphoz vegyünk fel egy rá merőleges kifelé mutató vektort úgy, hogy az \(\displaystyle u\) területű lapra merőleges \(\displaystyle \mathbf{u}\) vektor hossza \(\displaystyle |\mathbf{u}|=u\) legyen. Ekkor \(\displaystyle \mathbf{d}=-\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c}\). Valóban, a \(\displaystyle d\) területű lappal szemközti csúcsból a másik három csúcsba mutató vektort jelölje \(\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}\) oly módon, hogy a három vektor ebben a sorrendben jobbrendszert alkosson. Ekkor

\(\displaystyle 2\mathbf{a}+2\mathbf{b}+2\mathbf{c}=\mathbf{x}\times \mathbf{y}+ \mathbf{y}\times \mathbf{z}+\mathbf{z}\times \mathbf{x}.\)

Ugyanakkor az \(\displaystyle \mathbf{u}\times \mathbf{u}=\mathbf{0}\) és az \(\displaystyle \mathbf{u}\times \mathbf{v}=-\mathbf{v}\times \mathbf{u}\) azonosságok miatt

\(\displaystyle 2\mathbf{d}=(\mathbf{z}- \mathbf{x})\times(\mathbf{y}- \mathbf{x})= -\mathbf{x}\times \mathbf{y}- \mathbf{y}\times \mathbf{z}-\mathbf{z}\times \mathbf{x}.\)

Mivel az \(\displaystyle \mathbf{a}\) és \(\displaystyle \mathbf{b}\) vektorok hajlásszöge \(\displaystyle 180^\circ-\gamma\), a \(\displaystyle \mathbf{b}\) és \(\displaystyle \mathbf{c}\) vektoroké \(\displaystyle 180^\circ-\alpha\), a \(\displaystyle \mathbf{c}\) és \(\displaystyle \mathbf{a}\) vektoroké pedig \(\displaystyle 180^\circ-\alpha\), a vektorok skaláris szorzatának tulajdonságai alapján

\(\displaystyle d^2=\mathbf{d}^2=(-\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c})^2= \mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2+ \mathbf{c}^2+2\mathbf{a}\mathbf{b}+ 2\mathbf{a}\mathbf{c}+2\mathbf{b}\mathbf{c}=\)

\(\displaystyle =a^2+b^2+c^2+2ab\cdot\cos(180^\circ-\gamma)+ 2ac\cdot\cos(180^\circ-\beta)+2bc\cdot\cos(180^\circ-\alpha)=\)

\(\displaystyle =a^2+b^2+c^2- 2ab\cdot \cos\gamma- 2bc\cdot \cos\alpha- 2ca\cdot \cos\beta.\)


Statistics:

20 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kecskés Boglárka, Kovács-Deák Máté, Machó Bónis, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Róbert, Ódor Gergely, Szabó 777 Bence, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weimann Richárd.
4 points:Strenner Péter.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012