Problem B. 4441. (March 2012)

B. 4441. The areas of the faces of a tetrahedron are a, b, c, d. The angle enclosed by the faces of areas a and b is $\gamma$ , the angle of b and c is $\alpha$ , and the angle of c and a is $\beta$ . Prove that d²=a²+b²+c²-2ab^.cos $\gamma$ -2bc^.cos $\alpha$ -2ca^.cos $\beta$ .

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Minden laphoz vegyünk fel egy rá merőleges kifelé mutató vektort úgy, hogy az $\displaystyle u$ területű lapra merőleges $\displaystyle \mathbf{u}$ vektor hossza $\displaystyle |\mathbf{u}|=u$ legyen. Ekkor $\displaystyle \mathbf{d}=-\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c}$. Valóban, a $\displaystyle d$ területű lappal szemközti csúcsból a másik három csúcsba mutató vektort jelölje $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$ oly módon, hogy a három vektor ebben a sorrendben jobbrendszert alkosson. Ekkor

$\displaystyle 2\mathbf{a}+2\mathbf{b}+2\mathbf{c}=\mathbf{x}\times \mathbf{y}+ \mathbf{y}\times \mathbf{z}+\mathbf{z}\times \mathbf{x}.$

Ugyanakkor az $\displaystyle \mathbf{u}\times \mathbf{u}=\mathbf{0}$ és az $\displaystyle \mathbf{u}\times \mathbf{v}=-\mathbf{v}\times \mathbf{u}$ azonosságok miatt

$\displaystyle 2\mathbf{d}=(\mathbf{z}- \mathbf{x})\times(\mathbf{y}- \mathbf{x})= -\mathbf{x}\times \mathbf{y}- \mathbf{y}\times \mathbf{z}-\mathbf{z}\times \mathbf{x}.$

Mivel az $\displaystyle \mathbf{a}$ és $\displaystyle \mathbf{b}$ vektorok hajlásszöge $\displaystyle 180^\circ-\gamma$, a $\displaystyle \mathbf{b}$ és $\displaystyle \mathbf{c}$ vektoroké $\displaystyle 180^\circ-\alpha$, a $\displaystyle \mathbf{c}$ és $\displaystyle \mathbf{a}$ vektoroké pedig $\displaystyle 180^\circ-\alpha$, a vektorok skaláris szorzatának tulajdonságai alapján

$\displaystyle d^2=\mathbf{d}^2=(-\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c})^2= \mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2+ \mathbf{c}^2+2\mathbf{a}\mathbf{b}+ 2\mathbf{a}\mathbf{c}+2\mathbf{b}\mathbf{c}=$

$\displaystyle =a^2+b^2+c^2+2ab\cdot\cos(180^\circ-\gamma)+ 2ac\cdot\cos(180^\circ-\beta)+2bc\cdot\cos(180^\circ-\alpha)=$

$\displaystyle =a^2+b^2+c^2- 2ab\cdot \cos\gamma- 2bc\cdot \cos\alpha- 2ca\cdot \cos\beta.$

Statistics:

20 students sent a solution.

5 points: Ágoston Tamás, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kecskés Boglárka, Kovács-Deák Máté, Machó Bónis, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Róbert, Ódor Gergely, Szabó 777 Bence, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weimann Richárd.

4 points: Strenner Péter.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012

20 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Tamás, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kecskés Boglárka, Kovács-Deák Máté, Machó Bónis, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Róbert, Ódor Gergely, Szabó 777 Bence, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weimann Richárd.
4 points:	Strenner Péter.

Already signed up?
New to KöMaL?